Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải - Toán lớp 11


Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Với Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tính đơn điệu của dãy số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

A. Phương pháp giải

* Định nghĩa:

+ Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ta có un < un + 1

+ Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ta có: un > un+1

* Để xét tính tăng (giảm) của dãy số ta có 2 cách sau:

+ cách 1: Xét hiệu: un+1 − un

Nếu un+1 − un > 0 thì dãy số tăng.

Nếu un+1 − un < 0 thì dãy số giảm

+ Cách 2. Nếu các số hạng của dãy un > 0 với mọi n: Xét thương Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Nếu T > 1 thì dãy số tăng.

Nếu T < 1 thì dãy số giảm.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho dãy số (un) với un = a . 10n ( với a hằng số).Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Dãy số có un+1 = a . 10n+1.    B. Hiệu số un+1 − uu = 10a.

C. Với a > 0 thì dãy số tăng    D. Với a < 0 thì dãy số giảm.

Hướng dẫn giải:

+Ta có: un+1 = a . 10n + 1

+ Xét hiệu: un+1 − un = a . 10n+1 − a . 10n = a . 10n (10 − 1) = 9a . 10n.

+ Nếu a > 0 thì un + 1 − un > 0 nên dãy số tăng.

Và nếu a < 0 thì un + 1 − un < 0 nên dãy số giảm.

=> B sai

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho dãy số (un) với Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải (a là hằng số) . Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Hướng dẫn giải:

+ Ta có: Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

+ Xét hiệu: Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Nếu a > 0 thì un + 1 − un < 0 => Dãy số giảm

Nếu a < 0 thì un+1 − un > 0 => dãy số tăng

Do chưa biết dấu của a nên ta chưa thể kết luận tính tăng; giảm của dãy số.

Chọn D.

Ví dụ 3: Cho dãy số (un) với Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải (k là hằng số). Khẳng định nào sau đây là sai?

Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Hướng dẫn giải:

+ Số hạng thứ 4 của dãy số là Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

+ Số hạng thứ n + 1 của dãy số là Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

+ Xét hiệu: Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

=> Nếu k > 0 thì T < 0 nên dãy số giảm

Nếu k < 0 thì T > 0 nên dãy số tăng

=> B sai.

Chọn B.

Hay lắm đó

Ví dụ 4: Cho dãy số (un) với Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải . Khẳng định nào sau đây là sai?

Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Hướng dẫn giải:

+ Số hạng thứ 9 của dãy số là: Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

+ Số hạng thứ 10 của dãy số là: Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

+ Số hạng thứ 5 của dãy số là: Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

+ Dãy un là một dãy đan dấu nên đây là dãy số không tăng; không giảm

=> C sai.

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho dãy số (un) có un = −n2 + n + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 5 số hạng đầu của dãy là −1; 1; −5; −11; −19.

B. Số hạng thứ n+1 là: un+1 = − n2 + n + 2.

C. Số hạng thứ 10 của dãy số là : u10 = 89

D. Là một dãy số giảm.

Hướng dẫn giải:

Ta xét các phương án:

+ 5 số hạng đầu tiên của dãy số là: 1; −1; −5; −11; −19

+ Số hạng thứ n+ 1 của dãy số là un + 1 = −(n+1)2 + (n+1) + 1 = −n2 − n + 1

+ Số hạng thứ 10 của dãy số là : u10 = −89

+ Xét hiệu T = un+1 − un = (−n2 − n + 1) − (−n2 + n + 1)= −2n < 0 với ∀n ≥ 1

Do đó (un) là một dãy giảm.

Chọn D.

Ví dụ 6: Cho dãy số (un) với Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải . Khẳng định nào sau đây là sai?

Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Hướng dẫn giải:

+ Ta có: Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

+ Xét hiệu Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

=> un+1 > un và dãy số đã cho là dãy số tăng.

=> B sai.

Chọn B.

Ví dụ 7: Xét tính tăng; giảm của dãy số (un) biết Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

A. Dãy số giảm     B. Dãy số tăng

C. Dãy số không tăng; không giảm    D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Số hạng thứ n+1 là Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

+ Xét hiệu: Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải ∀n ∈ N*

=> Dãy số (un) là dãy số giảm.

Chọn A.

Ví dụ 8: Chọn mệnh đề sai. Cho dãy số (un) xác định bởi Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Chọn C.

Ví dụ 9: Cho dãy số (un) xác định bởi: un = (−1)n . (2n + 1). Tìm mệnh đề sai.

A. u1 = −3

B. u2 = 5

C. Dãy số giảm

D. Dãy số không tăng; không giảm

Hướng dẫn giải:

Ta có: u1 = −3; u2 = 5; u3 = −9

Từ đó suy ra dãy số (un) là dãy số không tăng; không giảm.

=> C sai.

Chọn C.

Hay lắm đó

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Cho dãy số (un) xác định bởi Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải . Tìm mệnh đề sai?

Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Lời giải:

Đáp án: C

+ Do n ∈ N* nên un > 0 với mọi n .

Xét tỉ số: Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

=> un < un + 1

=> Dãy số (un) là một dãy số tăng.

Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

=> C sai

Câu 2: Cho dãy số (un) xác định bởi un> = 2n − √(4n2 − 1). Tìm mệnh đề sai?

Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Lời giải:

Đáp án: B

+ Ta có: Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

=> un > 0 với mọi n ∈ N*.

+ Lại có: un+1 = 2n+2 − √(4(n+1)2 − 1)

+ Xét hiệu:

Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

∀n ∈ N*

Vì:

Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Vậy: dãy số (un) giảm.

=> B sai

Câu 3: Cho dãy số (un) xác định bởi: Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải . Chọn mệnh đề sai.

A. Dãy số tăng.

B. Dãy số giảm

C. Số hạng thứ 2 là u2 = √7.

D. un > 1 với mọi n.

Lời giải:

Đáp án: B

+ Ta có: u2 = √(2u1 + 3) = √7 > u1

+ Ta dự đoán un+1 > un (*) với mọi n ≥ 1. Ta chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp.

Ta có (*) đúng với n = 1

Giả sử ta có: uk > uk − 1 với k ≥ 2. Khi đó ta có:

uk+1 = √(2uk + 3) > √(2uk−1 + 3) = uk (do uk > uk − 1 )

Suy ra (*) đúng với mọi n ∈ N*.

Vậy (un) là dãy số tăng.

=> B sai.

Câu 4: Cho dãy số (un) xác định bởi: Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải . Chọn mệnh đề sai.

A. Số hạng thứ hai u2 = 1.

B. Dãy số (un) giảm.

C. Dãy số (un) tăng.

D. Các số hạng của dãy luôn dương.

Lời giải:

Đáp án: C

* Từ hệ thức truy hồi đã cho ; ta chứng minh un > 0 với mọi n.

Thật vậy ; u1 = 3 > 0

=> đúng với n = 1.

Giả sử đúng với n = k và k ∈ N*; tức là uk > 0

Ta chứng minh uk+1 > 0 .

Thật vậy; Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải mà uk > 0 nên uk + 1 > 0.

*Ta có: Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Ta dự đoán un + 1 < un (**) với mọi n ∈ N*.

Ta có (**) đúng khi n = 1. Giả sử có uk < uk-1

Khi đó Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Vì uk < uk−1 nên Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Suy ra (**) đúng với mọi n.

Vậy (un) là dãy số giảm.

=> C sai .

Câu 5: Cho a dãy số (un) xác định bởi : un = 2n3 − 5n + 1. Tìm mệnh đề đúng

A. Dãy số tăng.

B.Dãy số giảm.

C.Số hạng thứ n+1 là un + 1 = 2(n+1)3 − 5n + 1

D. Dãy số không tăng không giảm.

Lời giải:

Đáp án: A

Dãy số (un) với un = 2n3 − 5n + 1

Với mỗi n, ta có: un+1 − un = [2.(n+1)3 − 5(n+1)+ 1] − (2n3 − 5n+1)

= 2n3 + 6n2 + 6n+ 2- 5n – 5+ 1 – 2n3 + 5n – 1

= 6n2 + 6n – 3= 6n2 + 3n+ (3n- 3)> 0 đúng do n≥1

Vì thế dãy số (un) là một dãy số tăng.

=> A đúng.

Chọn A.

Hay lắm đó

Câu 6: Cho dãy số (un) xác định bởi un = 3n − n và dãy số (vn) xác định bởi Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải . Tìm mệnh đề đúng ?

A. Dãy số (un) và (vn) là hai số tăng.

B. Dãy số (un) và (vn) là hai dãy số giảm.

C.Dãy số (un) tăng và dãy số (vn) là giảm

D.Dãy số (un) giảm và dãy số (vn) là tăng.

Lời giải:

Đáp án: C

* Xét dãy số (un) với un = 3n − n.

Với mỗi n ∈ N*, ta có: un+1 − un = [ 3n+1 − (n + 1)] − (3n − n)

= 3 . 3n − n − 1 − 3n + n= 2 . 3n − 1 > 0 vì n ∈ N*

=> Dãy số (un) là dãy số tăng.

* Xét dãy số (vn) với Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải .

Với mỗi n ∈ N* ta có:

Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Vì (−n2 − n + 1) < 0 với ∀n ≥ 1, và [(n+1)2 + 1] . (n2 + 1) > 0

Kết luận: dãy số (vn) là một dãy số giảm.

Câu 7: Cho dãy số (un ) với Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải và dãy số (vn ) với Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải . Tìm mệnh đề đúng ?

A. Dãy số (un) tăng ; dãy số (vn) giảm.

B.Dãy số (un)giảm ; dãy số (vn) tăng.

C. Dãy số (un) và (vn) đều giảm.

D. Dãy số (un) và (vn) đều tăng.

Lời giải:

Đáp án: B

* Xét dãy số (un) với Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Dễ thấy un >0 với mọi n. Xét tỉ số Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Ta có: Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Thật vậy: Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải ( luôn đúng với n ≥ 1)

Kết luận: (un) là một dãy số giảm.

* Xét dãy số (vn) với Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Ta có: Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Với mọi n ∈ N* ta có:

Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Kết luận (vn) là dãy số tăng.

Câu 8: Dãy số (un) với un = n − √(n2 − 1) và dãy số Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải . Chọn mệnh đề đúng

A. Cả hai dãy số giảm.

B. Cả hai dãy số tăng.

C. Dãy số (un) tăng và (vn) giảm.

D. Dãy số (un) giảm và (vn ) tăng.

Lời giải:

Đáp án: B

* Xét dãy số (un) với un = n − √(n2 − 1)

Ta có: Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Dễ dàng ta có: Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải hay un + 1 < un

Từ đó suy ra dãy số (un) là dãy số giảm.

* Xét dãy số (vn) với Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Ta có:

Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Dễ dàng ta có:

Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Vậy dãy số (vn) là dãy số giảm.

Câu 9: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau: Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

A. Dãy số tăng    B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng không giảm    D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Với ∀n ∈ N* ta có: Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải nên un+1 − un > 0

=> dãy (un) là dãy tăng.

Câu 10: Cho dãy số (un) với Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải . Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng.

A.a < 2    B. a > −2    C. a < 4    D. a < −4

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có dãy số (un) tăng khi và chỉ khi: un+1 − un > 0

Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Với n ∈ N* thì (2n+1) > 0 và (2n − 1) < 0 nên (*) chỉ xảy ra khi và chỉ khi: −a − 4 > 0 ⇔ a < −4

Câu 11: Cho dãy số (un) xác định bởi : Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải .Tìm a để dãy số (un) tăng.

Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có:

Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Mà: Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Nên (un) tăng ⇔ un+1 − un > 0 ⇔ 4 − 5a < 0 Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có lời giải hay khác: