Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11


Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết

Với Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tính tích vô hướng của hai vectơ từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

Trong không gian, cho hai vectơ uv đều khác 0 . Tích vô hướng của hai vectơ uv là một số, kí hiệu là u. v, được xác định bởi công thức:

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Trong trường hợp u = 0 hoặc v = 0, ta quy ước u. v = 0

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó cos(AB; DM) bằng :

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Giả sử cạnh của tứ diện là a.

Tam giác BCD đều ⇒ DM = (a√3)/2.

Tam giác ABC đều ⇒ AM = (a√3)/2.

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn B.

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60° . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ ABCD ?

A. 60°               B. 45°               C . 120°               D. 90°

Hướng dẫn giải

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn D

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ SCAB ?

A. 120°               B. 45°               C. 60°               D. 90°

Hướng dẫn giải

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn D

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB và CA = CB. Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và AB

A. 30°               B. 45°               C. 60°               D. 90°

Hướng dẫn giải

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Xét:

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Vậy SC và AB vuông góc với nhau

Chọn D

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có AB = AC và ∠SAC = ∠SAB . Tính số đo của góc giữa hai đường thẳng chéo nhau SA và BC

A. 30°               B. 45°                C. 60°               D. 90°

Hướng dẫn giải

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Vậy SA ⊥ BC

Chọn D

Ví dụ 6: Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11 thì AB ⊥ CD , AC ⊥ BD, AD ⊥ BC. Điều ngược lại đúng không?

Sau đây là lời giải:

Bước 1:

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

⇔ AC ⊥ BD

Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC.AD = AD.AB ta được ADBCAB.AC = AD.AB ta được ABCD

Bước 3: Ngược lại đúng, vì quá trình chứng minh ở bước 1 và 2 là quá trình biến đổi tương đương

Bài giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở đâu?

A. Sai ở bước 3

B. Đúng

C. Sai ở bước 2

D. Sai ở bước 1

Hướng dẫn giải

Chọn B

Bài giải đúng

Hay lắm đó

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AC = (3/2)AD, ∠CAB = ∠DAB = 60°, CD = AD. Gọi α là góc giữa AB và CD. Chọn khẳng định đúng?

A. cosα = (3/4)                B. α = 60°                C. α = 30°                D. cosα = 1/4

Lời giải:

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn D

Câu 2: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và ∠BAC = ∠BAD = 60°, ∠CAD = 90°. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ ABIJ ?

A. 120°                B. 90°                C. 60°                D. 45°

Lời giải:

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Xét tam giác ICD có J là trung điểm đoạn CD ⇒ IJ = (1/2)(IC + ID)

Tam giác ABC có AB = AC và ∠BAC = 60° nên tam giác ABC đều ⇒ CI ⊥ AB    (1)

Tương tự, ta có tam giác ABD đều nên DI ⊥ AB    (2)

Từ ( 1) và (2) ta có

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn B

Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh bằng a và các cạnh bên đều bằng a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD. Số đo của góc (MN ; SC) bằng

A. 45°                B. 30°                C. 90°                D.60°

Lời giải:

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Do ABCD là hình vuông cạnh a ⇒ AC = a√2

Ta có : AC2 = 2a2= SA2 + SC2

⇒ tam giác SAC vuông taị S.

Từ giả thiết ta có MN là đường trung bình của tam giác DSA ⇒ MN = (1/2).SA

Khi đó

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn C

Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh bằng a. Tính AB.EG

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Ta có: EGCA là hình bình hành nên EG = ACAB.EG = AB.AC

Mặt khác AC = AB + AD ( quy tắc hình hộp) .

Suy ra

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn B

Hay lắm đó

Câu 5: Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a. Gọi M là trung điểm AD. Giá trị B1M.BD1 là:

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn A

Câu 6: Cho tứ diện đều ABCD. Số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng:

A. 60°                B. 30°                C. 90°                D. 45°

Lời giải:

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

+ Gọi M là trung điểm của CD

+ Tam giác ACD và tam giác BCD là tam giác đều ( vì ABCD là tứ diện đều) có AM ; BM là hai đường trung tuyến ứng với cạnh CD nên đồng thời là đường cao.

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Suy ra ABCD nên số đo góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 90°.

Chọn C

Câu 7: Cho tứ diện ABCD đều cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Góc giữa AO và CD bằng bao nhiêu ?

A. 0°                B. 30°                C. 90°                D. 60°

Lời giải:

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Câu 8: Cho hai vectơ ab thỏa mãn: Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11. Gọi α là góc giữa hai vectơ ab. Chọn khẳng định đúng?

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Câu 9: Cho tứ diện ABCD. Tìm giá trị của k thích hợp thỏa mãn:

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

A. k = 1                B. k = 2                C. k = 0                D. k = 4

Lời giải:

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn đáp án C

Câu 10: Trong không gian cho tam giác ABC có trọng tâm G. Chọn hệ thức đúng?

A. AB2 + AC2 + BC2 = 2.(GA2 + GB2 + GC2)

B. AB2 + AC2 + BC2 = GA2 + GB2 + GC2

C. AB2 + AC2 + BC2 = 4.(GA2 + GB2 + GC2)

D. AB2 + AC2 + BC2 = 3.(GA2 + GB2 + GC2)

Lời giải:

Cách 1

Ta có

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11 Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Tương tự ta suy ra được GA2 + GB2 + GC2

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Cách tính tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn đáp án D.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có lời giải hay khác: