Cách tìm điều kiện để 2 vectơ cùng phương hay, chi tiết - Toán lớp 11


Cách tìm điều kiện để 2 vectơ cùng phương hay, chi tiết

Với Cách tìm điều kiện để 2 vectơ cùng phương hay, chi tiết Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tìm điều kiện để 2 vectơ cùng phương từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Cách tìm điều kiện để 2 vectơ cùng phương hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

+ Hai vecto ab cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

+ Để chứng minh hai vecto cùng phương ta có thể làm theo hai cách sau:

    - Chứng minh giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

    - Chứng minh tồn tại số thực k ≠ 0: a = k.b

Hay lắm đó

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho u = 2a + bv = -6a - 3b. Chọn mệnh đề đúng nhất?

A. Hai vecto uv là cùng phương

B. Hai vecto uv là cùng phương và cùng hướng

C. Hai vecto uv là cùng phương và ngược hướng

D. Hai vecto uv là không cùng phương

Hướng dẫn giải

Ta có: v = -6a - 3b = -3(2a + b)

v = -3u

uv là cùng phương và ngược hướng.

Chọn C.

Ví dụ 2: Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng. Xét các vectơ x = 2a - b, y = -4a + 2b, z = -3b - 2c. Chọn khẳng định đúng?

A. Hai vectơ y, z cùng phương

B. Hai vectơ x, y cùng phương

C. Hai vectơ x, z cùng phương

D. Ba vectơ x, y, z đồng phẳng

Hướng dẫn giải

Chọn B

+ Nhận thấy: y = -2x nên hai vectơ x, y cùng phương.

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Nếu SA + SB + 2SC + 2SD = 6SO thì ABCD là hình thang.

B. Nếu ABCD là hình bình hành thì SA + SB + SC + SD = 4SO .

C. Nếu ABCD là hình thang thì SA + SB + 2SC + 2SD = 6SO.

D. Nếu SA + SB + SC + SD = 4SO thì ABCD là hình bình hành.

Hướng dẫn giải

Cách tìm điều kiện để 2 vectơ cùng phương hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn C

A. Đúng vì SA + SB + 2SC + 2SD = 6SO

OA + OB + 2OC + 2OD = O

Vì O; A; C và O; B; D thẳng hàng nên đặt

Cách tìm điều kiện để 2 vectơ cùng phương hay, chi tiết - Toán lớp 11

B. Đúng.

Ta có:

Cách tìm điều kiện để 2 vectơ cùng phương hay, chi tiết - Toán lớp 11

C. Sai. Vì nếu ABCD là hình thang cân có 2 đáy là AD; BC thì sẽ sai.

D. Đúng. Tương tự đáp án A với k = -1; m = - 1

⇒ O là trung điểm 2 đường chéo.

Ví dụ 4: Cho hai vecto ab không cùng phương; u = 2a - 3bv = 3a - 9b. Chọn mệnh đề đúng nhất?

A. Hai vecto uv là cùng phương

B. Hai vecto uv là cùng phương và cùng hướng

C. Hai vecto uv là cùng phương và ngược hướng

D. Hai vecto uv là không cùng phương

Hướng dẫn giải

Giả sử tồn tại số thực k sao cho u = k.v

Cách tìm điều kiện để 2 vectơ cùng phương hay, chi tiết - Toán lớp 11

Do hai vecto ab không cùng phương nên từ ( 1) suy ra:

Cách tìm điều kiện để 2 vectơ cùng phương hay, chi tiết - Toán lớp 11

⇒ Không có giá trị nào của k thỏa mãn đầu bài.

⇒ Hai vecto uv là không cùng phương.

Chọn D

Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’; gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chọn mệnh đề đúng?

A. Hai vecto MNDD' là cùng phương

B. Hai vecto AMB'C là cùng phương

C. Hai vecto ANMC là cùng phương

D. Hai vecto DNMA' là cùng phương

Hướng dẫn giải

Xét tứ giác AMCN có:

AM = CN = (1/2)BC = (1/2)AD

AM // CN

⇒ Tứ giác AMCN là hình bình hành

⇒ AN // MC nên Hai vecto ANMC là cùng phương.

Chọn C

Ví dụ 6: : Cho lăng trụ ABC.A’B’C’; gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’. Hỏi vecto nào cùng hướng với vecto IJ?

A. B'B                        B. C'C                        C. AA'                        D. AB'

Hướng dẫn giải

Ta có tứ giác ACC’A’ là hình bình hành có I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’

⇒ IJ là đường trung bình của hình bình hành ACC’A’

⇒ IJ // AA’ // CC’

AA' cùng hướng với vecto IJ

chọn C

Hay lắm đó

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hai vecto ab không cùng phương; u = a - 2bv = 3a - 5b. Chọn mệnh đề đúng nhất?

A. Hai vecto uv là cùng phương

B. Hai vecto uv là cùng phương và cùng hướng

C. Hai vecto uv là cùng phương và ngược hướng

D. Hai vecto uv là không cùng phương

Lời giải:

Giả sử tồn tại số thực k sao cho u = k.v

Cách tìm điều kiện để 2 vectơ cùng phương hay, chi tiết - Toán lớp 11

Do hai vecto ab không cùng phương nên từ ( 1) suy ra:

Cách tìm điều kiện để 2 vectơ cùng phương hay, chi tiết - Toán lớp 11

⇒ Không có giá trị nào của k thỏa mãn đầu bài.

⇒ Hai vecto uv là không cùng phương.

Chọn D

Câu 2: Cho hai điểm phân biệt A; B và một điểm O bất kỳ không thuộc đường thẳng AB. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM = OA + OB

B. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM = OB = kBA

C. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM = kOA + (1-k)OB

D. Điểm M thuộc đường thẳng AB khi và chỉ khi OM = OB = k(OB - OA)

Lời giải:

Chọn C

Cách tìm điều kiện để 2 vectơ cùng phương hay, chi tiết - Toán lớp 11

Câu 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Xác định vị trí các điểm M; N lần lượt trên AC và DC’ sao cho MN // BD’. Tính tỉ số MN/BD' bằng?

A. (1/3)                   B. (1/2)                    C. 1                    D. (2/3)

Lời giải:

Cách tìm điều kiện để 2 vectơ cùng phương hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn A

Cách tìm điều kiện để 2 vectơ cùng phương hay, chi tiết - Toán lớp 11

Cách tìm điều kiện để 2 vectơ cùng phương hay, chi tiết - Toán lớp 11

Vậy các điểm M; N được xác định bởi

Cách tìm điều kiện để 2 vectơ cùng phương hay, chi tiết - Toán lớp 11

Câu 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’; gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’. Hỏi vecto nào cùng hướng với vecto IJ?

A. GG'                        B. GA'                        C. AG'                        D. AB'

Lời giải:

Ta có tứ giác ACC’A’ là hình bình hành có I và J lần lượt là trung điểm của AC và A’C’

⇒ IJ là đường trung bình của hình bình hành ACC’A’

⇒ IJ // AA’ // CC’

+ Do G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ nên GG’// BB’// IJ

⇒ vecto IJ cùng hướng với vecto GG'.

Chọn A

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của SC, SB, AB và AC. Tìm mệnh đề đúng?

A. Hai vecto NMBC cùng phương và ngược hướng

B. Hai vecto PQBC cùng phương và ngược hướng

C. Hai vecto PQNM cùng phương và ngược hướng

D. Hai vecto QPNM cùng phương và ngược hướng .

Lời giải:

+ Xét tam giác SBC có M và N lần lượt là trung điểm của SC và SB nên MN là đường trung bình của tam giác SBC.

⇒ MN // BC. (1)

+ Xét tam giác SAB có P và Q lần lượt là trung điểm của AB và AC nên PQ là đường trung bình của tam giác SAB.

⇒ PQ // BC. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MN // PQ.

⇒ Hai vecto QPNM cùng phương và ngược hướng .

Chọn D

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có lời giải hay khác: