Hình chóp đều, hình lăng trụ đứng và các trường hợp đặc biệt lớp 11 (bài tập + lời giải)

---

Haylamdo biên soan và sưu tầm trọn bộ chuyên đề phương pháp giải bài tập Hình chóp đều, hình lăng trụ đứng và các trường hợp đặc biệt lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Hình chóp đều, hình lăng trụ đứng và các trường hợp đặc biệt.

Hình chóp đều, hình lăng trụ đứng và các trường hợp đặc biệt lớp 11 (bài tập + lời giải)

1. Phương pháp giải

a) Hình lăng trụ đứng, hình hộp, hình lập phương.

Tên	Định nghĩa	Hình vẽ	Tính chất cơ bản
Hình lăng trụ đứng	là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy		- Cạnh bên vuông góc với hai đáy. - Mặt bên là các hình chữ nhật.
Hình lăng trụ đều	là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều		- Hai đáy là hai đa giác đều. - Mặt bên là các hình chữ nhật. - Cạnh bên và đường nối tâm hai đáy vuông góc với hai đáy.
Hình hộp đứng	là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành		- Bốn mặt bên là hình chữ nhật. - Hai đáy là hình bình hành.
Hình hộp chữ nhật	là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật		- Sáu mặt là hình chữ nhật. - Độ dài a, b, c của 3 cạnh cùng đi qua một đỉnh gọi là ba kích thước của hình hộp chữ nhật. - Độ dài đường chéo d được tính theo 3 kích thước $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$
Hình lập phương	là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau		- Sáu mặt là hình vuông. - Độ dài đường chéo d được tính theo công thức $d=a\sqrt{3}$.

b) Hình chóp đều

+) Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu nó có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.

+)Hình chóp đều có các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau. Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau.

+) Các cạnh bên của hình chóp đều tạo với đáy các góc bằng nhau.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng $2\sqrt{2}$, AA' = 4. Tính góc giữa mặt phẳng (A'BC)  với mặt phẳng (ABCD).

Hướng dẫn giải:

Do ABCD là hình vuông nên AB $\perp$ BC (1).

Mà AA' $\perp$ (ABCD) ⇒ AA' $\perp$ BC (2).

Từ (1) và (2), suy ra BC $\perp$(ABB'A') ⇒ BC $\perp$ A'B.

Mặt khác AB $\perp$ BC và (A'BC) $\cap$ (ABCD) = BC.

Do đó góc giữa mặt phẳng (A'BC)  với mặt phẳng (ABCD) chính bằng góc giữa hai đường thẳng AB và A'B.

Mà (AB, A'B) = $\widehat{AB{A}^{\text{'}}}$.

Xét DA'AB vuông tại A, có $\tan \widehat{A\text{'}BA}=\frac{AA\text{'}}{AB}=\frac{4}{2\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}\Rightarrow \widehat{A\text{'}BA}\approx \mathrm{54,7}°$.

Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $a\sqrt{2}$ và chiều cao bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy của hình chóp.

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm của hình vuông. Khi đó O là trung điểm của AC, BD.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO $\perp$ (ABCD) ⇒ SO $\perp$AB (1).

Gọi E là trung điểm của AB.

Khi đó OE là đường trung bình của DABC ⇒ $OE=\frac{BC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$Dvà OE $\perp$AB (2).

Từ (1) và (2), suy ra AB $\perp$ (SOE) ⇒ AB$\perp$SE.

Vì  nên góc giữa mặt phẳng (SAB) và (ABCD) là $\widehat{SEO}$ .

Vì  $SO=OE=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ nên DSOE vuông cân tại O. Do đó $\widehat{SEO}=45°$ .

Vậy góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy của hình chóp là 45°.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông, BD = 2a, góc phẳng nhị diện [A', BD, A] bằng 30° . Tính độ dài cạnh AA'.

A.$\frac{2a\sqrt{3}}{3}$ ;

B. $\frac{a}{3}$ ;

C. $\frac{a\sqrt{3}}{6}$ ;

D. $\frac{a\sqrt{3}}{3}$ .

Bài 2. Xét các mệnh đề sau:

(1) Hình hộp là hình lăng trụ đứng.

(2) Hình hộp chữ nhật là hình lăng trụ đứng.

(3) Hình lập phương là hình lăng trụ đứng.

(4) Hình lăng trụ tứ giác đều là lăng trụ đứng.

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

A. 4;

B. 3;

C. 2;

D. 1.

Bài 3. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. (AB'C) $\perp$ (B'BD);

B. (AB'C)$\perp$ (BA'C');

C. (AB'C) $\perp$ (D'BC);

D. (AB'C) $\perp$ (D'AB).

Bài 4. Chohình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC'. Diện tích của thiết diện là:

A. $\frac{3\sqrt{3}{a}^2}{2}$;

B. $\frac{\sqrt{3}{a}^2}{4}$;

C. $\frac{3\sqrt{3}{a}^2}{4}$;

D. $\frac{\sqrt{3}{a}^2}{16}$.

Bài 5. Chohình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F' có cạnh bên bằng a và ADD'A' là hình vuông. Cạnh đáy của lăng trụ bằng:

A. a;

B. $\frac{\sqrt{2}a}{2}$;

C. $\frac{\sqrt{3}a}{3}$;

D. $\frac{a}{2}$.

Bài 6. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a, góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (ABC') có số đo bằng 60°. Cạnh bên của hình lăng trụ bằng:

A. 3a;

B. $a\sqrt{3}$;

C. 2a;

D.$a\sqrt{2}$ .

Bài 7. Cho hình chóp tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Côsin của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

A. $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ;

B. $\frac{1}{3}$ ;

C. $\frac{1}{2}$ ;

D. $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Bài 8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với O là tâm của đáy và chiều cao $SO=\frac{\sqrt{3}}{2}AB$ . Tính góc giữa mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng đáy.

A. 90°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Bài 9. Lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có cạnh đáy bằng a. Gọi M là điểm trên cạnh AA' sao cho $AM=\frac{3a}{4}$ . Tang của góc hợp bởi hai mặt phẳng (MBC) và (ABC) là:

A. 2;

B. $\frac{1}{2}$ ;

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Bài 10. Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60°. Tính độ dài đường cao SH của khối chóp

A. $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ ;

B. $SH=\frac{a\sqrt{2}}{3}$ ;

C. $SH=\frac{a}{2}$ ;

D. $SH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .