Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11


Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết

Với Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

TH1: Dựng đường thẳng AH // (α) .

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Lúc đó: d(A, (α)) = d(H, (α))

TH2: Dựng đường thẳng AH, AH ∩ (α) = {I} .

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Lúc đó: Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a . Khoảng cách từ B đến (SCD) bằng:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Ta có; AB // CD nên d(B, (SCD))= d(A; (SCD)).

Ta tính khoảng cách từ A đến (SCD) :

SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD; AD ⊥ CD

Suy ra (SAD) ⊥ CD

Trong (SAD) kẻ AH vuông góc SD tại H .

Khi đó AH ⊥ (SCD)

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn đáp án C

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy bằng a√3. Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC)

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn C

+ Gọi O là trọng tâm của tam giác ABC

Suy ra: OA = OB = OC (do tam giác ABC là tam giác đều).

Lại có: SA = SB = SC ( vì S.ABC là hình chóp đều)

⇒ SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên SO ⊥ (ABC) và SO = a√3

+ Gọi M là trung điểm của BC.

Kẻ OH ⊥ SM, ta có

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Xét tam giác vuông SOM đường cao OH có:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

AO cắt (SBC) tại M và AM = 3OM nên d(A, (SBC))= 3.d(O; (SBC)) = 3OH.

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn D

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A, AB = AC = a, ∠BAC = 120°. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc α sao cho tanα = 3/√7. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) tính theo a bằng

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn B

Ta có:

Gọi H là hình chiếu của J lên AB

Gọi Z là hình chiếu của G lên AB

Gọi I là hình chiếu của G lên SZ.

+ Áp dụng định lí cosin trong tam giác, ta có:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

+ áp dụng hệ quả định lí Ta-let cho tam giác BJH

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

+ Do G là trọng tâm tam giác ABC nên:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Ví dụ 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SMN) tính theo a bằng

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn C

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

DO hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SG ⊥ (ABC)

Theo giả thiết góc giữa cạnh bên và mp (ABC) là 60° nên ∠SCG = 60°

Xét tam giác CAM có CM = CA.sin60° = (a√3)/2 và CG = 2/3.CM = (a√3)/3

Trong tam giác SGC vuông tại G suy ra SG = GC.tanC = GC√3 = ((a√3)/3).√3 = a

Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của G trên MN và SE.

Khi đó d(C, (SMN)) = 3 d(G; (SMN))= 3 GF

Ta có :

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Trong tam giác SGE vuông tại H suy ra

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Ví dụ 5: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, AB = a, BC = a√3, tam giác SAC vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của đoạn AI. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) tính theo a bằng

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn A

Hay lắm đó

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O; hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là trung điểm của AO góc giữa (SCD) và (ABCD) là 60°. Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SCD) tính theo a bằng

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn D

Ta có:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB; AD và DC. Gọi H là giao điểm của CN và DM biết SH vuông góc (ABCD), SH = a√3. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBP) tính theo a bằng

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Ta chứng minh: NC ⊥ MD

Thật vậy: ΔADM = ΔDCM vì ∠A = ∠D = 90°; AD = DC; AM = DN ⇒ ∠ADM = ∠DCN

Mà ∠ADM + ∠MDC = 90° ⇒ ∠MDC + ∠DCN = 90° ⇒ NC ⊥ MD

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn C

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I với AB = 2a√3; BC = 2a. Biết chân đường cao M hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD trùng với trung điểm đoạn DI và SB hợp với mặt phẳng đáy (ABCD) một góc 60°. Khoảng cách từ D đến (SBC) tính theo a bằng

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

+ Từ giả thiết suy ra: SM ⊥ (ABCD) và góc giữa SB tạo với mặt phẳng (ABCD) là

+ Ta có:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn đáp án C

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M; N lần lượt là trung điểm các cạnh AD; DC . Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM) bằng

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

+ Do đáy ABCD là hình vuông nên AN ⊥ BM.

+ Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABCD) là góc ∠AIS = 45° .

Vậy tam giác ASI vuông cân tại A nên AI = SA = a

+ Xác định khoảng cách: Vì M là trung điểm của AD nên d(D; (SBM))= d(A; (SBM)) = AH

Với H là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAI.

- Tính AH: Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn đáp án D

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABD. Cạnh bên SD tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc bằng 60°. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SBC)?

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Gọi E là trọng tâm của tam giác ABD.

Do hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABD nên SE ⊥ (ABCD)

Do đó, góc giữa SD tạo với mặt phẳng (ABCD) là ∠SDE = 60°

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn đáp án B

Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD có mặt đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 3a; AD = 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho AH = 2HB. Góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°. Khoảng từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) tính theo a bằng

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Kẻ HK ⊥ CD

Do đó; góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) là ∠SKH = 60°

Có HK = AD = 2a, SH = HK.tan60° = 2a√3

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Chọn C

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách từ M đến (SAB) nhận giá trị nào trong các giá trị sau?

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

Lời giải:

Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (dùng quan hệ song song) hay, chi tiết - Toán lớp 11

+ Ta có: DM // AB nên DM // mp (SAB)

⇒ d( M; (SAB)) = d( D; (SAB))

+ Ta có: SA ⊥ AD (vì SA vuông góc với (ABCD))

Và AB ⊥ AD (vì ABCD là hình vuông)

⇒ AD ⊥ (SAB)

Do đó d(M, (SAB)) = d(D, (SAB)) = a

Chọn đáp án D

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có lời giải hay khác: