Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng lớp 11 (bài tập + lời giải)

---

Bài viết phương pháp giải bài tập Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.

Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng lớp 11 (bài tập + lời giải)

I. Phương pháp giải

Áp dụng các tính chất:

- Tính chất 1:

+ Cho hai đường thẳng song song. Nếu có một mặt phẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng thì mặt phẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.

+ Ngược lại, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng nào đó thì hai đường thẳng này song song với nhau.

- Tính chất 2:

+ Cho hai mặt phẳng song song với nhau, nếu có một đường thẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng còn lại.

+ Ngược lại, nếu có hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng bất kì thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.

- Tính chất 3:

+ Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) cho trước. Nếu có một đường thẳng b nào đó vuông góc với mặt phẳng (α) thì đường thẳng b cũng vuông góc với a.

+ Ngược lại, nếu có một đường thẳng và một mặt phẳng (đường thẳng không thuộc mặt phẳng) và cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng sẽ song song với nhau.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD theo thứ tự tại H, M, K. Chứng minh rằng AK không vuông góc với HK.

Hướng dẫn giải

Ta có:

.

Gọi O là giao điểm của AC và BD, I là giao điểm của SO và HK.

(P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC

Qua I kẻ ∆ // BC, do đó, ∆ vuông góc với AM.

Do đó, ∆ thuộc (P).

Khi đó, K là giao điểm của ∆ với SD, H là giao điểm của ∆ với SB

Ta có:

AK vuông góc với (SCD) nên AK vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mp(SCD).

Mà HK giao (SCD) tại K nên HK không nằm trong mp(SCD).

Do đó, AK không vuông góc với HK.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi AE, AF lần lượt là đường cao của tam giác SAB và tam giác SAD. Chứng minh SC ⊥ (AEF).

Hướng dẫn giải

Vì SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SA ⊥ BC

Mà AB ⊥ BC nên suy ra: BC ⊥ (SAB)

⇒ BC vuông góc với AE, AE thuộc (SAB)

Tam giác SAB có đường cao AE

⇒ AE ⊥ SB

Mà AE ⊥ BC

Nên AE ⊥ (SBC) ⇒ AE ⊥ SC

Tương tự, ta chứng minh được AF ⊥ SC. Do đó, SC ⊥ (AEF).

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Mệnh đề nào sau đây có thể sai?

A. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song;

B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song;

C. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song;

D. Một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng đã cho) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau.

Câu 2. Cho a, b, c là các đường thẳng trong không gian. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Nếu a ⊥ b và b ⊥ c thì a // c;

B. Nếu a vuông góc với mặt phẳng (α) và b // (α) thì a ⊥ b;

C. Nếu a // b và b ⊥ c thì c ⊥ a;

D. Nếu a ⊥ b, b ⊥ c và a cắt c thì b vuông góc với mặt phẳng (a, c).

Câu 3. Cho đường thẳng a, b và mặt phẳng (P). Chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Nếu a // (P) và b ⊥ a thì b // (P);

B. Nếu a // (P) và b ⊥ (P) thì a ⊥ b;

C. Nếu a // (P) và b ⊥ a thì b ⊥ (P);

D. Nếu a ⊥ (P) và b ⊥ a thì b // (P).

Câu 4. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên CC' vuông góc với đáy và CC' = a. Gọi I là trung điểm của BC. M là trung điểm của BB'. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. AC' ⊥BC';

B. BC' ⊥ AM;

C. MI ⊥ BC;

D. B'C ⊥ AI.

Câu 5. Trong không gian cho đường thẳng Δ và điểm O. Qua O có mấy đường thẳng vuông góc với Δ cho trước?

A. 1;

B. 2;

C. 0;

D. Vô số.

Câu 6. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu đường thẳng d ⊥ (α) thì d vuông góc với hai đường thẳng trong (α);

B. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng nằm trong (α) thì d ⊥ (α);

C. Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (α) thì d vuông góc với bất kì đường thẳng nào nằm trong (α);

D. Nếu d ⊥ (α) và đường thẳng a // (α) thì d ⊥ a.

Câu 7. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. Hai đường thẳng chéo nhau và vuông góc với nhau. Khi đó có một và chỉ một mp chứa đường thẳng này và vuông góc với đường thẳng kia;

B. Qua một điểm O cho trước có một mặt phẳng duy nhất vuông góc với một đường thẳng Δ cho trước;

C. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước;

D. Qua một điểm O cho trước có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Câu 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và đường thẳng b vuông góc với a thì b vuông góc với mặt phẳng (P);

B. Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b và b song song với mặt phẳng (P) thì a song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P);

C. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (P) thì a vuông góc với b;

D. Một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

Câu 9. Cho hình chóp S. ABCD có các cạnh bên bằng nhau SA = SB = SC = SD. Gọi H là hình chiếu của S lên mặt đáy ABCD. Khẳng định nào sau đây sai?

A. HA = HB = HC = HD;

B. Tứ giác ABCD là hình bình hành;

C. Tứ giác ABCD nội tiếp được trong đường tròn;

D. Các cạnh SA, SB, SC, SD hợp với đáy ABCD những góc bằng nhau.

Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và tam giác ABC vuông tại B. Vẽ SH ⊥ (ABC), H ∈ (ABC). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. H trùng với trọng tâm tam giác ABC;

B. H trùng với trực tâm tam giác ABC;

C. H trùng với trung điểm của AC;

D. H trùng với trung điểm của BC.