Xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 11 (bài tập + lời giải)

---

Bài viết phương pháp giải bài tập Xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 11 (bài tập + lời giải)

I. Phương pháp giả

• Định nghĩa:

- Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng 90°.

- Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng d và hình chiếu d' của nó trên (P) được gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Chú ý: Nếu α là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) thì 0° ≤ α ≤ 90°.

Cách xác định góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):

Bước 1. Tìm giao điểm O của d và (P).

Bước 2. Lấy điểm A nằm trên d và A khác O, xác định hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (P) là H.

Bước 3. Khi đó, góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc AOH.

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC, có SA ⊥ (ABC), SA = a, AB = a . Tính số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC).

Hướng dẫn giải

Ta có: SB ∩ (ABC) tại B.

S ∈ SB và hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là A (vì SA ⊥ (ABC))

Do đó, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là .

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

.

Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 30°.

Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên ta có SO ⊥ (ABCD).

SA ∩ (ABCD) = A và O là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) nên:

Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) là .

Ta có: $AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+a^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Khi đó, $\cos \widehat{SAO}=\frac{OA}{SA}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow \widehat{SAO}=45°$

Vậy góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD) bằng 45°.

III. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho hình chóp S.ABC, có SA ⊥ (ABC). Góc giữa đường thẳng SC và mặt đáy là góc nào dưới đây?

A. $\widehat{SAC}$ ;

B. $\widehat{SBC}$ ;

C. $\widehat{SCA}$ ;

D. $\widehat{CSA}$ .

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC, có SA ⊥ (ABC). Góc giữa đường thẳng SB và đáy là góc nào dưới đây?

A. $\widehat{SBA}$ ;

B. $\widehat{SBC}$ ;

C. $\widehat{SCA}$ ;

D. $\widehat{CSA}$ .

Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA ⊥ (ABC). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) là góc nào dưới đây

A. $\widehat{SCA}$ ;

B. $\widehat{SBC}$ ;

C. $\widehat{BSC}$ ;

D. $\widehat{SCB}$ .

Câu 4. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Xác định góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABCD).

A. $\widehat{A\text{'}CA}$ ;

B. $\widehat{AA\text{'}C}$ ;

C. $\widehat{A\text{'}CB}$ ;

D. $\widehat{A\text{'}CD\text{'}}$ .

Câu 5. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = $\sqrt{3}$  và AA' = 1. Góc tạo bởi đường thẳng AC' và (ABC) bằng:

A. $60°$ ;                

B. $30°$ ;                

C. $90°$ ;                

D. $45°$ .

Câu 6. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = AD = 2 và AA' = 2$\sqrt{2}$ . Góc giữa đường thẳng CA' và mặt phẳng (ABCD) bằng:

A. $30°$ ;                

B. $60°$ ;                

C. $90°$ ;                

D. $45°$ .

Câu 7. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Tính côsin góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng (ABB'A').

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ;       

B. $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ;                

C. $\sqrt{2}$ ;                 

D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Câu 8. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2 và cạnh bên bằng $2\sqrt{2}$ . Khi đó góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

A. $30°$ ;                

B. $45°$ ;                

C. $60°$ ;                

D. $90°$ .

Câu 9. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Tính côsin góc giữa đường thẳng BD' và mặt phẳng đáy bằng bao nhiêu?

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ;                

B. $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ;                

C. $\sqrt{2}$ ;                 

D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, biết SA ⊥ (ABCD) và SA = $a\sqrt{6}$ . Gọi M là trung điểm của SB. Tính góc giữa đường thẳng BM và (ABCD).

A. $30°$ ;                

B. $45°$ ;                

C. $60°$ ;                

D. $90°$ .