Lý thuyết Giới hạn của hàm số hay, chi tiết nhất - Toán lớp 11
Lý thuyết Giới hạn của hàm số hay, chi tiết nhất
Tài liệu Lý thuyết Giới hạn của hàm số hay, chi tiết nhất Toán lớp 11 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về Giới hạn của hàm số từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 11.
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
1. Định nghĩa
Định nghĩa 1
Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ {x0}.
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, xn ∈ K \{x0} và xn → x0, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu: hay f(x) → L khi x → x0.
Nhận xét: với c là hằng số.
2. Định lí về giới hạn hữu hạn
Định lí 1
3. Giới hạn một bên
Định nghĩa 2
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (x0; b).
Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, x0 < xn < b và xn → x0, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu:
- Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; x0).
Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất kì, a < xn < x0 và xn → x0, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu:
Định lí 2
II. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC
Định nghĩa 3
a) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu:
b) Cho hàm số y = f(x) xác định trên (–∞; a).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x → –∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và xn → –∞, ta có f(xn) → L.
Kí hiệu:
Chú ý:
a) Với c, k là hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:
b) Định lí 1 về giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x0 vẫn còn đúng khi xn → +∞ hoặc x → –∞
III. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ
1. Giới hạn vô cực
Định nghĩa 4
Cho hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞).
Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là –∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và xn → +∞, ta có f(xn) → –∞
2. Một vài giới hạn đặc biệt
3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực
a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)
L > 0 | +∞ | +∞ |
–∞ | –∞ | |
L < 0 | +∞ | –∞ |
–∞ | +∞ |
b) Quy tắc tìm giới hạn của thương
Dấu của g(x) | |||
L | ± ∞ | Tùy ý | 0 |
L > 0 | 0 | +∞ | +∞ |
–∞ | –∞ | ||
L < 0 | +∞ | –∞ | |
–∞ | +∞ |