Lý thuyết Tổng hợp chương Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng hay, chi tiết nhất - Toán lớp 11

---

Lý thuyết Tổng hợp chương Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng hay, chi tiết nhất

Tài liệu Lý thuyết Tổng hợp chương Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng hay, chi tiết nhất Toán lớp 11 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 11.

PHÉP BIẾN HÌNH

    + Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M’ của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.

    + Nếu ký hiệu phép biến hình là F thì ta viết F(M) = M’ hay M’ = F(M) và gọi điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép biến hình F.

    + Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H = F(H) là tập các điểm M’ = F(M), với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành hình H, hay hình H là ảnh của hình (H) qua phép biến hình F.

    + Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.

PHÉP TỊNH TIẾN

1. Định nghĩa

    Trong mặt phẳng cho vectơ v→. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho MM'→ = v→ được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v→

Phép tịnh tiến theo vectơ v→ thường được lí hiệu là Tv→, v→ được gọi là vectơ tịnh tiến.

Như vậy

Tv→(M) = M’ ⇔ MM'→ = v→

Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất.

2. Tính chất

Tính chất 1. Nếu Tv→(M) = M’, Tv→(N) = N’ thì M'N'→ = MN→ và từ đó suy ra M’N = MN.

Tính chất 2. Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

3. Biểu thức toạ độ

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v→ = (a; b). Với mỗi điểm M(x; y) ta có M’(x’, y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo v→. Khi đó

Biểu thức trên được gọi là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến Tv→

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

1. Định nghĩa

Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d.

Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng hoặc đơn giản gọi là trục đối xứng.

Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đ_d

Nếu hình H’ là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H’ qua d, hay H và H’ đối xứng với nhau qua d.

Nhận xét

    Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M gọi M₀ là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d. Khi đó M’ = Đ_d(M) ⇔ M₀M'→ = - M₀M→.

    M’ = Đ_d(M) ⇔ M = Đ_d(M’)

2. Biểu thức toạ độ

    Nếu d ≡ Ox. Gọi M’(x’; y’) = Đ_Ox[M(x,y)] thì

       

    Nếu d ≡ Oy. Gọi M’(x’; y’) = Đ_Oy[M(x,y)] thì

       

3. Tính chất

Tính chất 1

    Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Tính chất 2

    Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

   

4. Trục đối xứng của một hình

Định nghĩa

    Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến hình H thành chính nó. Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng.

PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM

1. Định nghĩa

    Cho điểm I. Phép biến hình biến điểm I thành chính nó, biến mỗi điểm M khác I thành M’ sao cho I là trung điểm của MM’ được gọi là phép đối xứng tâm I.

    Điểm I được gọi là tâm đối xứng.

    Phép đối xứng tâm I thường được kí hiệu là Đ_I.

    Nếu hình H là ảnh của hình H qua Đ_I thì ta còn nói H đối xứng với H’ qua tâm I, hay H và H’ đối xứng với nhau qua I.

    Từ đinh nghĩa suy ra M = Đ_I(M) ⇔ IM'→ = - IM→

2. Biểu thức toạ độ

    Với O(0;0), ta có M(x’; y’) = Đ_O[M(x;y)] thì

       

    Với I(a; b), ta có M(x’; y’) = Đ_I(x’; y’) thì

       

3. Tính chất

Tính chất 1

    Nếu Đ_I(M) = M’ và Đ_I(N) = N thì M'N'→ = – MN→, từ đó suy ra M’N’ = MN.

Tính chất 2

    Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

4. Tâm đối xứng của một hình

Định nghĩa

    Điểm I được gọi là tâm đối xứng của hình H nếu phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó.

    Khi đó ta nói H là hình có tâm đối xứng.

PHÉP QUAY

1. Định nghĩa

Cho điểm O và góc lượng giác α. Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và góc lượng giác (OM; ON’) bằng α được gọi là phép quay tâm O góc α.

- Điểm O được gọi là tâm quay, α được gọi là góc quay của phép quay đó.

- Phép quay tâm O góc α thường được kí hiệu là Q_{(O, α)}

2. Tính chất

Tính chất 1

    Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Tính chất 2

    Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BĂNG NHAU

1. Định nghĩa

    Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Nhận xét

    Các phép đồng nhất, tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm và phép quay đều là những phép dời hình.

    Phép biến hình có được bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép dời hình là một phép dời hình.

2. Tính chất

Phép dời hình:

    Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm;

    Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đọan thẳng bằng nó;

    Biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến góc thành góc bằng nó;

    Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Khái niệm hai hình bằng nhau

Định nghĩa

    Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.

PHÉP VỊ TỰ

1. Định nghĩa

    Cho điểm O và số k ≠ 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM'→ = kOM→ được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k.

    Phép vị tự tâm O tỉ số k thường được kí hiệu là V_(O;k).

Nhận xét

    Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó.

    Khi k = 1, phép vị tự là đồng nhất.

    Khi k = –1, phép vị tự là phép đối xứng tâm.

    M’ = V_{(O; k)}(M) ⇔ M = V_{(O; 1/k)}(M’)

2. Tính chất

Tính chất 1

    Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M, N tùy ý theo thứ tự thành M’, N’ thì M'N'→ = kMN→ và M’N’ = |k|.MN.

Tính chất 2

Phép vị tự tỉ số k:

    Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;

    Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng;

    Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;

    Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính |k|R.

PHÉP ĐỒNG DẠNG

1. Định nghĩa

    Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm M, N bất kì và ảnh M’, N’ tương ứng của chúng ta luôn có M’N’ = k.MN.

Nhận xét

    Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.

    Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số |k|.

2. Tính chất

Phép đồng dạng tỉ số k:

    Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa các điểm ấy;

    Biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đọan thẳng;

    Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với nó, biến góc thành góc bằng nó;

    Biến đường tròn bán kính R thành đường tròn bán kính kR.

3. Hình đồng dạng

Định nghĩa

    Hai hình được gọi là đồng dạng với nhau nếu có một phép đồng dạng biến hình này thành hình kia.