Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép đối xứng tâm cực hay - Toán lớp 11

Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép đối xứng tâm cực hay

Với Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép đối xứng tâm cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm ảnh của một đường thẳng qua phép đối xứng tâm từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

A. Phương pháp giải

[Cách 1]. Sử dụng tính chất:

Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

[Cách 2]. Sử dụng biểu thức tọa độ (phương pháp quỹ tích)

Trong hệ tọa độ Oxy

● Nếu tâm đối xứng là O(0;0), với mỗi M(x;y) gọi M' = D_O(M) = (x';y') thì

● Nếu tâm đối xứng I(a;b) bất kì, với mỗi M(x;y) gọi M' = D_I(M) = (x';y') thì

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: x + y + 2 = 0. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I(1;0)

Hướng dẫn giải:

d:x + y + 2 = 0 lấy 2 điểm A(0,-2), B(-2,0) thuộc d.

Gọi A’, B’ là ảnh của A,B qua phép đối xứng tâm I. Khi đó ta có:

Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I. Khi đó d’ đi qua 2 điểm A’B’ nên có phương trình d': x⁡ + y⁡- 4 = 0

Vậy ảnh của d là d': x⁡ + y⁡- 4 = 0

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình: 2x + y + 1 = 0. Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm I(1;0)

Hướng dẫn giải:

• d: 2x + y + 1 = 0 lấy 2 điểm A(0,-1), B (-1,1) thuộc d. Gọi A’, B’ là ảnh của A, B qua phép đối xứng tâm I. Khi đó ta có:

• Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối đối xứng tâm I. Khi đó, d’ đi qua 2 điểm A’ và B’ nên có phương trình d’: đi qua A’( 2;1),

Phương trình d’: 2(x - 2) + 1(y - 1) = 0 hay 2x + y - 5 = 0

Vậy ảnh của d là d': 2x ⁡ + y - 5 = 0

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x - 6y + 5 = 0, điểm I(2;-4). Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I

Hướng dẫn giải:

Lấy M(x;y) thuộc d, phép đối xứng tâm I(x₀,y₀) biến M(x;y) thành M'(x',y') thì . Thay vào phương trình d ta được

2(4 - x') - 6(-8 - y') + 5 = 0 ⇔ 2x' - 6y' - 61 = 0 hay 2x - 6y - 61 = 0.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình x = 2. Trong bốn đường thẳng cho bởi các phương trình sau đường thẳng nào là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O?

A. x = -2.

B. y = 2.

C. x = 2.

D. y = -2.

Lời giải:

.

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O là . Thay vào phương trình đường thẳng d, ta được -x' = 2 ⇔ x' = -2.

Chọn A.

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 3x - 2y - 1 = 0. Ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng tâm O có phương trình là:

A. 3x + 2y + 1 = 0.

B. -3x + 2y - 1 = 0.

C. 3x + 2y - 1 = 0.

D. 3x - 2y - 1 = 0.

Lời giải:

.

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm O là . Thay vào phương trình đường thẳng d, ta được 3(-x') - 2(-y') - 1 = 0 ⇔ -3x' + 2y' - 1 = 0.

Chọn B.

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x + y - 2 = 0. Tìm phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I(1;2).

A. x + y + 4 = 0.

B. x + y - 4 = 0.

C. x - y + 4 = 0.

D. x - y - 4 = 0.

Lời giải:

.

Qua phép đối xứng tâm đường thẳng biến thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên suy ra d': x + y + c = 0.

Chọn A(1;1) thuộc d. Ta có

Từ thay vào d' ta được 1 + 3 + c = 0 ⇔ c = -4

→ d': x + y - 4 = 0.

Chọn B.

Cách 2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm I(a;b) là

Thay vào phương trình đường thẳng d ta được (2 - x') + (4 - y')-2 = 0

⇔ x' + y' - 4 = 0.

Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy. Phép đối xứng tâm I(1;1) biến đường thẳng d: x + y + 2 = 0 thành đường thẳng nào sau đây:

A. d': x + y + 4 = 0.

B. d': x + y + 6 = 0.

C. d': x + y - 6 = 0.

D. d': x + y = 0.

Lời giải:

Chọn C

+ Giả sử phép đối xứng tâm I(1;1) biến điểm M(x;y) ∈ d thành điểm M'(x';y') ta có:

+ M ∈ d nên ta có: (2 - x') + (2 - y') + 2 = 0 ⇔ x' + y' - 6 = 0.

Vậy d': x + y - 6 = 0.

Câu 5. Cho điểm I(1;1) và đường thẳng d: x + 2y + 3 = 0. Tìm ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

A. d': x + y - 3 = 0.

B. d': x + 2y - 7 = 0.

C. d': 2x + 2y - 3 = 0.

D. d': x + 2y - 9 = 0.

Lời giải:

Chọn D

Cách 1. Gọi d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I.

Với mỗi điểm M(x;y) ∈ d qua phép đỗi xứng tâm ta có M'(x';y') ∈ d'

Gọi M' = Đ_I(M) thì

Thay (*) vào phương trình của đường thẳng d ta được (2 - x') + 2(2 - y') + 3 = 0 ⇔ x' + 2y' - 9 = 0

Vậy ảnh của d là đường thẳng d': x + 2y - 9 = 0.

Cách 2. Gọi d' là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I, thì d' song song hoặc trùng với d nên phương trình d' có dạng x + 2y + c = 0.

Lấy N(-3;0) ∈ d, gọi N' = Đ_I(N) thì N'(5;2).

Lại có N' ∈ d' ⇒ 5 + 2.2 + c = 0 ⇔ c = -9.

Vậy d': x + 2y - 9 = 0.

Câu 6. Cho đường thẳng d: x - 2y + 6 = 0 và d': x - 2y - 10 = 0. Tìm phép đối xứng tâm I biến d thành d' và biến trục Ox thành chính nó.

A. I(3;0).

B. I(2;1).

C. I(1;0).

D. I(2;0).

Lời giải:

Chọn D

• Gọi

• Do phép đối xứng tâm biến d thành d' và biến trục Ox thành chính nó nên biến A thành A’. Suy ra, tâm đối xứng I (x_I;y_I) là trung điểm của AA' ⇒

Vậy tâm đối xứng là I(2;0).

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng . Ảnh của đường thẳng Δ qua phép đối xứng tâm I(-2;2) có phương trình là:

A. x + 4y - 5 = 0.

B. x + 4y - 6 = 0.

C. 4x - y + 1 = 0.

D. 4x - y - 1 = 0.

Lời giải:

.

Đường thẳng Δ có phương trình tổng quát là x + 4y - 6 = 0.

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm I(a;b) là

Thay vào phương trình đường thẳng d ta được (-4 - x') + 4(4 - y') - 6 = 0

⇔ x' + 4y' - 6 = 0.

Chọn B.

Cách 2. Nhận thấy I(-2;2) ∈ Δ nên ảnh của đường thẳng Δ qua phép đối xứng tâm Itrùng với chính nó. Vậy ảnh của đường thẳng Δ qua phép đối xứng tâm I(-2;2) có phương trình là: x + 4y - 6 = 0.

Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: Ax + By + C = 0 và điểm I(a;b). Phép đối xứng tâm I biến đường thẳng d thành đường thẳng d' có phương trình:

A. Ax + By + C – 2(Aa + Bb + C) = 0.

B. 2Ax + 2By + 2C – 3(Aa + Bb + C) = 0.

C. Ax + 3By + 2C – 27 = 0.

D. Ax + By + C – Aa – Bb – C = 0.

Lời giải:

Chọn A

Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm là

Ta có d: Ax + By + C = 0 nên A(2a - x') + B(2b - y') + C = 0

Do đó Ax' + By' - (2Aa + 2Bb + C) = 0 hay Ax' + By' + C – 2(Aa + Bb + C) = 0

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: x - y + 4 = 0. Hỏi trong bốn đường thẳng cho bởi các phương trình sau đường thẳng nào có thể biến thành d qua một phép đối xứng tâm?

A. 2x + y - 4 = 0.

B. x + y - 1 = 0.

C. 2x - 2y + 1 = 0.

D. 2x + 2y - 3 = 0.

Lời giải:

.

Phép đối xứng tâm biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng nó. Do đó chỉ có đáp án C thỏa mãn.

Chọn C.

Câu 10. Ảnh của đường thẳng Δ: x - y - 4 = 0 qua phép đối xứng tâm I(a;b) là đường thẳng Δ':x - y + 2 = 0. Tính giá trị nhỏ nhất P_min của biểu thức P = a² + b² .

Lời giải:

.

Chọn M(4;0) ∈ Δ.

Chọn C.