Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số cực hay - Toán lớp 11


Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số cực hay

Với Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tìm đạo hàm cấp cao của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số cực hay

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f ’(x). Nếu f ’(x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x) và được kí hiệu là: f ''(x), tức là:

f ’’(x) = (f’(x))’

Đạo hàm cấp n: Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp n – 1 (với n ∈ N, n ≥ 2)) là f(n-1)(x). Nếu f(n-1)(x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x) và được kí hiệu là f(n)(x), tức là:

f(n)(x) = (f(n-1)(x))'

Để tính đạo hàm cấp n:

   + Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n

   + Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng

Ví dụ minh họa

Bài 1: Hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án.Tính đạo hàm cấp 2 của hàm số trên.

Hướng dẫn:

Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 2: Hàm số y = (x) = cos⁡(2x - π/3) . Phương trình f(4)(x) = -8 có nghiệm x ∈ [0; π/2] là:

Hướng dẫn:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 3: Cho hàm số f(x) = 5(x+1)3 + 4(x+1)

Tìm tập nghiệm của phương trình f ''(x) = 0 ?

Hướng dẫn:

Vì: f '(x) = 15(x+1)2 + 4 ; f ''(x) = 30(x+1) ⇒ f ''(x) = 0 ⇔ x = -1

Bài 4: Cho hàm số y = sin2⁡2x. Tính y(4)(π/6) ?

Hướng dẫn:

Vì: y ' = 2sin2x(2cos2x) = 2sin4x; y '' = 8cos4x; y ''' = -32sin4x;

y(4) = -128cos4x ⇒ y(4)(π/6) = 64√3

Bài 5: Cho hàm số y = sin2x. Tính y’’

Hướng dẫn:

Ta có y' = 2cos2x ⇒ y '' = -4sin2x

Bài 6: Cho hàm số y = sin2x. Tính y ''(π/3), y(4)(π/4) ?

Hướng dẫn:

Ta có y ''' = -8cos2x, y(4) = 16sin2x

Suy ra y ''' (π/3)= --8cos(2π/3) = 4; y(4)(π/4) = 16sin⁡(π/2) = 16

Bài 7: Cho hàm số y = sin2x. Tính y(n)?

Hướng dẫn:

Ta có

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.

Hay lắm đó

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Đạo hàm cấp hai của hàm số y = (3/4)x4 - 2x3 - 5x + sinx bằng biểu thức nào sau đây?

A. 9x2-12x+sinx

B. 9x2-12x-sinx

C. 9x2-6x-sinx

D. 9x2-12x+cosx

Lời giải:

Đáp án: B

y’ = 3x3 - 6x2 - 5 + cosx. Do đó y” = 9x2 - 12x - sinx. Chọn đáp án B

Bài 2: Đạo hàm cấp 4 của hàm số y = sin2x bằng biểu thức nào sau đây?

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

Đáp án: D

y’ = 2sinxcosx = sin2x

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Chọn đáp án D

Bài 3: Đạo hàm cấp hai của hàm số y = 1/(2x-3) bằng biểu thức nào dưới đây?

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Đáp án A

Bài 4: Đạo hàm cấp hai của hàm số y = cosx.cos2x.cos3x bằng biểu thức nào dưới đây?

A. cos2x + 4cos4x + 9cos6x

B. – cos2x - 4cos4x – 9cos6x

C. – cosx - 4cos2x - 9cos3x

D. (-1/4)cos2x + (1/4)cos4x + (-1/4)cos6x

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có: y = (1/2)(cos3x+cosx)cos3x = (1/4)(cos6x+1+cos4x+cos2x)

Khi đó y ’’ = - cos2x - 4cos4x – 9cos6x

Đáp án B

Bài 5: Đạo hàm cấp 2016 của hàm số y = sinx bằng biểu thức nào sau đây?

A. cosx

B. sinx

C. –sinx

D. –cosx

Lời giải:

Đáp án: B

Đáp án B

Ta có : Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Vậy đạo hàm cấp 2016 của hàm số đã cho là : sinx

Bài 6: Cho hàm số f(x) = x2015 + 2x2014 + 3x2013 +⋯ + 2015x + 2016. Giá trị f(2016)(x) bằng:

A. 2016!

B. 2015!

C. 2014!

D. 0

Lời giải:

Đáp án: D

Đáp án D

Do số mũ cao nhất trong đa thức x2015 + 2x2014 + 3x2013 +⋯ + 2015x + 2016 là 2015 nên f(2016)(x) = 0

Hay lắm đó

Bài 7: Hàm số Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp áncó đạo hàm cấp hai là:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D.

Ta có

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 8: Hàm số y = (x2 + 1)3 có đạo hàm cấp ba là:

A. y ''' = 12(x2+1)

B. y ''' = 24(x2+1)

C. y ''' = 24(5x2+3)

D. y ''' = -12(x2+1)

Lời giải:

Đáp án: C

Chọn C.

Ta có y = x6+3x4+3x2+1; y' = 6x5+12x3+6x

y '' = 30x4+36x2+6; y ''' = 120x3+72x = 24x(5x2+3)

Bài 9: Hàm sốChuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp áncó đạo hàm cấp hai bằng:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

Đáp án: C

Chọn C

Ta có

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 10: Hàm sốChuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp áncó đạo hàm cấp 5 bằng:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A.

Ta có

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 11: Hàm sốChuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp áncó đạo hàm cấp 5 bằng:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A.

Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 12: Hàm sốChuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp áncó đạo hàm cấp 2 bằng:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

Đáp án: C

Chọn C.

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 13: Hàm số y = (2x+5)5 có đạo hàm cấp 3 bằng:

A. y ''' = 80(2x+5)5

B. y ''' = 480(2x+5)2

C. y ''' = -480(2x+5)2

D. y ''' = -80(2x+5)3

Lời giải:

Đáp án: B

Chọn B.

Ta có: y' = 5(2x+5)4.2 = 10(2x+5)4; y'' = 80(2x+5)3; y ''' = 480(2x+5)2.

Bài 14: Hàm số y = tanx có đạo hàm cấp 2 bằng:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D

Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Bài 15: Bài 15: Cho hàm số y = sinx. Chọn câu sai.

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D

Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 11 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán 11 có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có lời giải hay khác: