Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số cực hay - Toán lớp 11

---

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số cực hay

Với Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số cực hay Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tìm đạo hàm cấp cao của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f(x) có đạo hàm f ’(x). Nếu f ’(x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f(x) và được kí hiệu là: f ''(x), tức là:

f ’’(x) = (f’(x))’

Đạo hàm cấp n: Cho hàm số f(x) có đạo hàm cấp n – 1 (với n ∈ N, n ≥ 2)) là f^(n-1)(x). Nếu f^(n-1)(x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của f(x) và được kí hiệu là f⁽ⁿ⁾(x), tức là:

f⁽ⁿ⁾(x) = (f^(n-1)(x))'

Để tính đạo hàm cấp n:

   + Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, ..., từ đó dự đoán công thức đạo hàm cấp n

   + Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức đúng

Ví dụ minh họa

Bài 1: Hàm số .Tính đạo hàm cấp 2 của hàm số trên.

Hướng dẫn:

Ta có:

Bài 2: Hàm số y = (x) = cos⁡(2x - π/3) . Phương trình f⁽⁴⁾(x) = -8 có nghiệm x ∈ [0; π/2] là:

Hướng dẫn:

Bài 3: Cho hàm số f(x) = 5(x+1)³ + 4(x+1)

Tìm tập nghiệm của phương trình f ''(x) = 0 ?

Hướng dẫn:

Vì: f '(x) = 15(x+1)² + 4 ; f ''(x) = 30(x+1) ⇒ f ''(x) = 0 ⇔ x = -1

Bài 4: Cho hàm số y = sin²⁡2x. Tính y⁽⁴⁾(π/6) ?

Hướng dẫn:

Vì: y ' = 2sin2x(2cos2x) = 2sin4x; y '' = 8cos4x; y ''' = -32sin4x;

y⁽⁴⁾ = -128cos4x ⇒ y⁽⁴⁾(π/6) = 64√3

Bài 5: Cho hàm số y = sin2x. Tính y’’

Hướng dẫn:

Ta có y' = 2cos2x ⇒ y '' = -4sin2x

Bài 6: Cho hàm số y = sin2x. Tính y ''(π/3), y⁽⁴⁾(π/4) ?

Hướng dẫn:

Ta có y ''' = -8cos2x, y⁽⁴⁾ = 16sin2x

Suy ra y ''' (π/3)= --8cos(2π/3) = 4; y⁽⁴⁾(π/4) = 16sin⁡(π/2) = 16

Bài 7: Cho hàm số y = sin2x. Tính y⁽ⁿ⁾?

Hướng dẫn:

Ta có

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh.

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Đạo hàm cấp hai của hàm số y = (3/4)x⁴ - 2x³ - 5x + sinx bằng biểu thức nào sau đây?

A. 9x²-12x+sinx

B. 9x²-12x-sinx

C. 9x²-6x-sinx

D. 9x²-12x+cosx

Lời giải:

Đáp án: B

y’ = 3x³ - 6x² - 5 + cosx. Do đó y” = 9x² - 12x - sinx. Chọn đáp án B

Bài 2: Đạo hàm cấp 4 của hàm số y = sin²x bằng biểu thức nào sau đây?

Lời giải:

Đáp án: D

y’ = 2sinxcosx = sin2x

Chọn đáp án D

Bài 3: Đạo hàm cấp hai của hàm số y = 1/(2x-3) bằng biểu thức nào dưới đây?

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có:

Đáp án A

Bài 4: Đạo hàm cấp hai của hàm số y = cosx.cos2x.cos3x bằng biểu thức nào dưới đây?

A. cos2x + 4cos4x + 9cos6x

B. – cos2x - 4cos4x – 9cos6x

C. – cosx - 4cos2x - 9cos3x

D. (-1/4)cos2x + (1/4)cos4x + (-1/4)cos6x

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có: y = (1/2)(cos3x+cosx)cos3x = (1/4)(cos6x+1+cos4x+cos2x)

Khi đó y ’’ = - cos2x - 4cos4x – 9cos6x

Đáp án B

Bài 5: Đạo hàm cấp 2016 của hàm số y = sinx bằng biểu thức nào sau đây?

A. cosx

B. sinx

C. –sinx

D. –cosx

Lời giải:

Đáp án: B

Đáp án B

Ta có :

Vậy đạo hàm cấp 2016 của hàm số đã cho là : sinx

Bài 6: Cho hàm số f(x) = x²⁰¹⁵ + 2x²⁰¹⁴ + 3x²⁰¹³ +⋯ + 2015x + 2016. Giá trị f⁽²⁰¹⁶⁾(x) bằng:

A. 2016!

B. 2015!

C. 2014!

D. 0

Lời giải:

Đáp án: D

Đáp án D

Do số mũ cao nhất trong đa thức x²⁰¹⁵ + 2x²⁰¹⁴ + 3x²⁰¹³ +⋯ + 2015x + 2016 là 2015 nên f⁽²⁰¹⁶⁾(x) = 0

Bài 7: Hàm số có đạo hàm cấp hai là:

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D.

Ta có

Bài 8: Hàm số y = (x² + 1)³ có đạo hàm cấp ba là:

A. y ''' = 12(x²+1)

B. y ''' = 24(x²+1)

C. y ''' = 24(5x²+3)

D. y ''' = -12(x²+1)

Lời giải:

Đáp án: C

Chọn C.

Ta có y = x⁶+3x⁴+3x²+1; y' = 6x⁵+12x³+6x

y '' = 30x⁴+36x²+6; y ''' = 120x³+72x = 24x(5x²+3)

Bài 9: Hàm sốcó đạo hàm cấp hai bằng:

Lời giải:

Đáp án: C

Chọn C

Ta có

Bài 10: Hàm sốcó đạo hàm cấp 5 bằng:

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A.

Ta có

Bài 11: Hàm sốcó đạo hàm cấp 5 bằng:

Lời giải:

Đáp án: A

Chọn A.

Ta có:

Bài 12: Hàm sốcó đạo hàm cấp 2 bằng:

Lời giải:

Đáp án: C

Chọn C.

Bài 13: Hàm số y = (2x+5)⁵ có đạo hàm cấp 3 bằng:

A. y ''' = 80(2x+5)⁵

B. y ''' = 480(2x+5)²

C. y ''' = -480(2x+5)²

D. y ''' = -80(2x+5)³

Lời giải:

Đáp án: B

Chọn B.

Ta có: y' = 5(2x+5)⁴.2 = 10(2x+5)⁴; y'' = 80(2x+5)³; y ''' = 480(2x+5)².

Bài 14: Hàm số y = tanx có đạo hàm cấp 2 bằng:

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D

Ta có:

Bài 15: Bài 15: Cho hàm số y = sinx. Chọn câu sai.

Lời giải:

Đáp án: D

Chọn D

Ta có: