Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11
Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết
Với Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tìm đạo hàm cấp cao của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
A. Phương pháp giải
+ Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm tại trên khoảng (a ;b). Nếu hàm số y’= f’(x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y= f(x) và được kí hiệu là y'' hay f'' (x), tức là: f''=(f')' .
+Đạo hàm cấp n: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm cấp n-1 (với n thuộc số tự nhiên ,n ≥ 2) là f(n-1)(x). Nếu f(n-1) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số
y= f(x) và được kí hiệu là f(n), tức là: f((n) ) (x)=(f((n-1) ) (x))'
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số sau y= x10 + 9x2 + 8x+ 10
A. 90x8 +1 8 B. 10x9 + 18x C. 9x8+ 18 D. Tất cả sai
Hướng dẫn giải
+ Đạo hàm cấp một của hàm số là:
y'= 10x9+ 18x + 8
⇒ Đạo hàm cấp hai của hàm số là:
y''=(10x9+18x+8)' = 90x8+ 18
Chọn A.
Ví dụ 2. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= x8+ x4+x+ √x
Hướng dẫn giải
Hàm số có đạo hàm nếu x< 0.
+ Đạo hàm cấp một của hàm số là:
Ví dụ 3. Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= sin (3x – 1)
A. – 27cos( 3x- 1) B. 27.cos(3x- 1)
C. 9.sin( 3x- 1) D.Đáp án khác
Hướng dẫn giải
Đạo hàm cấp một của hàm số đã cho là: y'=3 cos(3x-1)
Đạo hàm cấp hai của hàm số là; y''=[ 3.cos( 3x-1) ]'= -9 sin( 3x-1)
Đạo hàm cấp ba của hàm số là y'''=[ -9 sin(3x-1) ]'= -27 cos(3x-1)
Chọn A.
Ví dụ 4. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= cos ( 2x+ x2)
A. - [ cos( 2x+ x2 )( 2+ 2x)2 + 2sin ( 2x+ x2 )]
B. cos( 2x+ x2 )( 2+ 2x)2 + 2sin ( 2x+ x2 )
C. - [ cos( 2x+ x2 )( 2+ 2x)2 - 2sin ( 2x+ x2 )]
D. - [ cos( 2x+ x2 )( 2+ 2x)2 + sin ( 2x+ x2 )]
Hướng dẫn giải
Đạo hàm cấp một của hàm số là:
y'= -sin(2x+ x2 ).( 2x+ x2 )'= -sin( 2x+ x2 ).( 2+2x)
Đạo hàm cấp hai của hàm số là:
y''=[- sin( 2x+ x2 ).( 2+2x)]'
=-{[sin( 2x+ x2 ) ]'.( 2+2x)+sin( 2x+ x2 ).(2+2x)'}
= -{ cos(2x+ x2).(2x+ x2) '( 2+ 2x)+ sin (2x+ x2).2 }
= - [ cos( 2x+ x2 )( 2+ 2x)2 + 2sin ( 2x+ x2 )]
Chọn A.
Ví dụ 5. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= (x-1)/(3x-6)?
Hướng dẫn giải
Hàm số có đạo hàm tại các điểm x≠2. Khi đó; đạo hàm cấp một của hàm số là
Ví dụ 6 : Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= ( 2x+ x2)( x2 – 1)
A. 12+ 24x B. 12x2 + 12x- 2 C. 12x+ 24 D. 6x+ 12
Hướng dẫn giải
Ta có: y=( 2x+ x2) ( x2 -1)= 2x3
-2x + x4 – x2
+ Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'=6x2-2+4x3-2x
+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là: y''=(6x2-2+4x3-2x)'=12x+12x2-2
+ Đạo hàm cấp ba của hàm số là: y'''=( 12x+12x2-2)'=12+24x
Chọn A.
Ví dụ 7: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= √(x2-1)
Hướng dẫn giải
Hàm số có đạo hàm khi x > 1 hoặc x < -1( khi đó x2 -1> 0)
Ví dụ 8 : Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= sin( 2x- 1) – cos (2x- 4)
A. y’’= - 4sin( 2x- 1)+ 4 cos( 2x-4) B. y’’= - 4sin( 2x- 1)- 4 cos( 2x-4)
C. y’’= 4sin( 2x- 1)- 4 cos( 2x-4) D.y’’= 4sin( 2x- 1)+ 4 cos( 2x-4)
Hướng dẫn giải
Đạo hàm cấp một của hàm số là; y'=2 cos( 2x-1)+2sin( 2x-4)
Đạo hàm cấp hai của hàm số là:
y''=[2 cos( 2x-1)+2 sin( 2x-4)]' = - 4sin( 2x- 1)+ 4 cos( 2x-4)
Chọn A.
Ví dụ 9: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= ( x2+1)3 .
A. 3 .( x2+1) 2+6x2 (x2+1) B. 3 .( x2+1) 2+12x2 (x2+1)
C. 6 .( x2+1) 2-12x2 (x2+1) D. 6 .( x2+1) 2+24x2 (x2+1)
Hướng dẫn giải
Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'=3(x2+1) 2.(x2+1)^'=6x.( x2+1) 2
Đạo hàm cấp hai của hàm số là:
y''=6 .( x2+1) 2+6x.[( x2+1) 2]'
= 6 .( x2+1) 2+6x.2(x2+1).( x2+1)'
= 6 .( x2+1) 2+24x2 (x2+1)
Chọn D.
Ví dụ 10 : Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= √(x3+ 2x2 )
Hướng dẫn giải
Ví dụ 11. Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= tan2x
Hướng dẫn giải
Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'=2( 1+tan2 2x )
Đạ hàm cấp hai của hàm số là:
y''=2.( 1+tan2 2x )’= 2.2. tan2x. ( tan2x)’
=4tan2 x( 1+ tan22x) . ( 2x)’= 8tan2x( 1+ tan22x) = 8.tan2x+ 8tan32x
Đạo hàm cấp ba của hàm số là:
Ví dụ 12: Tính đạo hàm cấp bốn của hàm số y= 1/x
Hướng dẫn giải
Hàm số có đạo hàm tại điểm x≠0
Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'= (- 1)/x2
Ví dụ 13: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= 1/(x2-5x+6)
Hướng dẫn giải
Hàm số có đạo hàm tại các điểm x≠2;x≠3
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số sau y= x9 – x4 + 8x2+ 3
A. 504x6 - 24x B. 72x6 - 24x+ 3 C. 72x7 - 24x+ 3 D. Tất cả sai
Lời giải:
+ Đạo hàm cấp một của hàm số là:
y'= 9x8 -4x3 + 16x
+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là:
y''=(9x8-4x3+16x)' = 72x7 – 12x2 + 16
+ Đạo hàm cấp ba của hàm số là :
y'''=504x6-24x
Chon A.
Câu 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= x7-2x2+9x+ 2√x
Lời giải:
Hàm số có đạo hàm nếu x > 0.
+ Đạo hàm cấp một của hàm số là
Câu 3: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y=2 cos ( 10- 2x)
A. –16 sin( 10- 2x) B. – 16 cos( 10- 2x)
C. - 8.sin( 10- 2x) D.Đáp án khác
Lời giải:
Đạo hàm cấp một của hàm số đã cho là: y^'=4sin( 10-2x)
Đạo hàm cấp hai của hàm số là; y''=[ 4.sin( 10-2x)]'= -8 cos( 10-2x)
Đạo hàm cấp ba của hàm số là y''^'=[-8 cos( 10-2x) ]'= -16 sin( 10-2x)
Chọn A.
Câu 4: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= sin ( x2- 9)
A. 4x2. sin( x2 – 9) - 2.cos( x2 – 9)
B. - 2x2. sin( x2 – 9)+ 2.cos( x2 – 9)
C. - 4x2. sin( x2 – 9)+ 2.cos( x2 – 9)
D. Đáp án khác
Lời giải:
Đạo hàm cấp một của hàm số là:
y'=cos( x2-9).( x2-9)'=cos( x2-9).2x
Đạo hàm cấp hai của hàm số là:
y''=[cos( x2-9) ]'.2x+cos( x2-9).( 2x)'
⇔y''=-2x.sin( x2-9).2x+2 cos( x2-9) = - 4x2. sin( x2 – 9)+ 2.cos( x2– 9)
Chọn C.
Câu 5: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= (x+3)/(x-6)?
Lời giải:
Hàm số có đạo hàm tại các điểm x≠6. Khi đó; đạo hàm cấp một của hàm số là :
Câu 6: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= (x3 – 1) (x+1)
A. 12+ 24x B. 24x+ 6 C. 12x+ 24 D. 24x+ 12
Lời giải:
Ta có: y = ( x3 – 1)( x+1)= x4 + x3 – x- 1
+ Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'=4x3+3x2-1
+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là: y''=(4x3+ 3x2-1)'=12x2+6x
+ Đạo hàm cấp ba của hàm số là: y'''=( 12x2+6x)'=24x+6
Chọn B.
Câu 7: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y=x.sinx
A. cosx + x. sinx B. 2sinx+ x. cosx
C. 2cosx- x. sinx D. Đáp án khác
Lời giải:
+ Đạo hàm cấp một của hàm số là:
y'=( x)'.sinx+x.( sinx)' = sinx+ x.cosx
+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là:
y''= ( sinx+ x. cosx)'=cosx+(x)'.cosx+x.(cosx )'
=cosx+cosx-x.sinx=2.cosx-x.sinx
Chọn C
Câu 8: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= 3cos( x+ 1) - 8. sin( 3x+ 10)
A. y''= -3 cos( x+1)+72 sin( 3x+10)
B. y''= -3 cos( x+1)+36 sin( 3x+10)
C.y''= -3 cos( x+1) -72sin( 3x+10)
D. tất cả sai
Lời giải:
Đạo hàm cấp một của hàm số là:
y'= -3 sin( x+1)-24 cos( 3x+10)
Đạo hàm cấp hai của hàm số là:
y''= -3 cos( x+1)+72 sin( 3x+10)
Chọn A.
Câu 9: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= ( x3+2x-1)2 .
A. y''=( 3x2+2)( 6x2+4)- ( x3+2x-1).12x
B. y''=( 3x2+2)( 3x2+2)+( x3+2x-1).12x
C. y''=( 3x2+2)( 6x2+4)+( x3+2x-1).12x
D. Tất cả sai
Lời giải:
Đạo hàm cấp một của hàm số là:
y'=2( x3+2x-1).( x3+2x-1)^'
=2.(x3+2x-1).( 3x2+2)=(x3+2x-1).( 6x2+4)
Đạo hàm cấp hai của hàm số là:
y''=( x3+2x-1)' ( 6x2+4)+( x3+2x-1).( 6x2+4)'
⇔ y''=( 3x2+2)( 6x2+4)+( x3+2x-1).12x
Chọn C.
Câu 10: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= √(2x+1)+x2
Lời giải:
Hàm số có đạo hàm tại các điểm x thỏa mãn: x > 1/2
Câu 11: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y=cot( 2- 2x)
Lời giải:
Đạo hàm cấp một của hàm số là:
y'=-[1+cot2 ( 2- 2x)]( 2-2x)'= 2[1+ cot2 ( 2-2x)] )
Đạ hàm cấp hai của hàm số là:
y''=2 [1+cot2 (2- 2x)]’ = 2.2. cot (2- 2x). [cot( 2-2x)]'
y''=4 cot( 2-2x).[-1( 1+ cot2 ( 2-2x)].( 2-2x)'
⇔ y''=8 cot( 2-2x) [1+ cot2 ( 2-2x)] = 8cot( 2- 2x)+ 8cot3( 2- 2x)
Đạo hàm cấp ba của hàm số là:
y'''=(8 cot( 2- 2x)+8cot3 ( 2- 2x)) '
Câu 12: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= 1/(2x-2)
Lời giải:
Hàm số có đạo hàm tại điểm x≠1
Câu 13: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos( x2+x+ 1)
A. y''= -cos( x2+x+1).( 2x+1) 2 – 2 sin( x2 + x+ 1)
B. y''= cos( x2+x+1).( 2x+1) 2 + 2 sin( x2 + x+ 1)
C. y''= -cos( x2+x+1).( 2x+1) 2 - sin( x2 + x+ 1)
D. Tất cả sai
Lời giải:
Đạo hàm cáp một của hàm số là:
y'= -sin( x2+x+1).( x2+x+1)'= -sin(x2+x+1).( 2x+1)
Đạo hàm cấp hai của hàm số là;
y''=[-sin( x2+x+1) ]'.(2x+1)+[-sin(x2+x+1) ].( 2x+1)'
⇔ y''= -cos( x2+x+1).( 2x+1) 2 – 2 sin( x2 + x+ 1)
Chọn A
Câu 14: Tính đạo hàm cấp 4 của hàm số; y=(x2+x+1)/(x+1)
Lời giải:
Hàm số có đạo hàm tại các điểm x thỏa mãn: x≠-1
Câu 15: Cho hàm số: y=sin(3x- π/3). Tính đạo hàm cấp năm của hàm số
Lời giải:
Đạo hàm cấp một là; y'=3.cos( 3x- π/3)
Đạo hàm cấp hai của hàm số là: y''=-9.sin( 3x- π/3)
Đạo hàm cấp ba của hàm số là: y'''=-27.cos( 3x- π/3)
Đạo hàm cấp bốn của hàm số: y(( 4))=81 sin( 3x- π/3)
Đạo hàm cấp năm của hàm số: y((5))=243.cos( 3x- π/3)
Chọn C.