Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11


Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết

Với Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tìm đạo hàm cấp cao của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết

A. Phương pháp giải

+ Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm tại trên khoảng (a ;b). Nếu hàm số y’= f’(x) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y= f(x) và được kí hiệu là y'' hay f'' (x), tức là: f''=(f')' .

+Đạo hàm cấp n: Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm cấp n-1 (với n thuộc số tự nhiên ,n ≥ 2) là f(n-1)(x). Nếu f(n-1) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số

y= f(x) và được kí hiệu là f(n), tức là: f((n) ) (x)=(f((n-1) ) (x))'

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số sau y= x10 + 9x2 + 8x+ 10

A. 90x8 +1 8        B. 10x9 + 18x        C. 9x8+ 18        D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'= 10x9+ 18x + 8

⇒ Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=(10x9+18x+8)' = 90x8+ 18

Chọn A.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= x8+ x4+x+ √x

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm nếu x< 0.

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là:

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Ví dụ 3. Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= sin (3x – 1)

A. – 27cos( 3x- 1)        B. 27.cos(3x- 1)

C. 9.sin( 3x- 1)        D.Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đạo hàm cấp một của hàm số đã cho là: y'=3 cos⁡(3x-1)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là; y''=[ 3.cos⁡( 3x-1) ]'= -9 sin⁡( 3x-1)

Đạo hàm cấp ba của hàm số là y'''=[ -9 sin⁡(3x-1) ]'= -27 cos⁡(3x-1)

Chọn A.

Ví dụ 4. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= cos ( 2x+ x2)

A. - [ cos( 2x+ x2 )( 2+ 2x)2 + 2sin ( 2x+ x2 )]

B. cos( 2x+ x2 )( 2+ 2x)2 + 2sin ( 2x+ x2 )

C. - [ cos( 2x+ x2 )( 2+ 2x)2 - 2sin ( 2x+ x2 )]

D. - [ cos( 2x+ x2 )( 2+ 2x)2 + sin ( 2x+ x2 )]

Hướng dẫn giải

Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'= -sin⁡(2x+ x2 ).( 2x+ x2 )'= -sin⁡( 2x+ x2 ).( 2+2x)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=[- sin⁡( 2x+ x2 ).( 2+2x)]'

=-{[sin⁡( 2x+ x2 ) ]'.( 2+2x)+sin⁡( 2x+ x2 ).(2+2x)'}

= -{ cos(2x+ x2).(2x+ x2) '( 2+ 2x)+ sin (2x+ x2).2 }

= - [ cos( 2x+ x2 )( 2+ 2x)2 + 2sin ( 2x+ x2 )]

Chọn A.

Ví dụ 5. Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= (x-1)/(3x-6)?

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x≠2. Khi đó; đạo hàm cấp một của hàm số là

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Ví dụ 6 : Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= ( 2x+ x2)( x2 – 1)

A. 12+ 24x        B. 12x2 + 12x- 2        C. 12x+ 24        D. 6x+ 12

Hướng dẫn giải

Ta có: y=( 2x+ x2) ( x2 -1)= 2x3

-2x + x4 – x2

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'=6x2-2+4x3-2x

+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là: y''=(6x2-2+4x3-2x)'=12x+12x2-2

+ Đạo hàm cấp ba của hàm số là: y'''=( 12x+12x2-2)'=12+24x

Chọn A.

Hay lắm đó

Ví dụ 7: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= √(x2-1)

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm khi x > 1 hoặc x < -1( khi đó x2 -1> 0)

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Ví dụ 8 : Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= sin( 2x- 1) – cos (2x- 4)

A. y’’= - 4sin( 2x- 1)+ 4 cos( 2x-4)        B. y’’= - 4sin( 2x- 1)- 4 cos( 2x-4)

C. y’’= 4sin( 2x- 1)- 4 cos( 2x-4)        D.y’’= 4sin( 2x- 1)+ 4 cos( 2x-4)

Hướng dẫn giải

Đạo hàm cấp một của hàm số là; y'=2 cos⁡( 2x-1)+2sin⁡( 2x-4)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=[2 cos⁡( 2x-1)+2 sin⁡( 2x-4)]' = - 4sin( 2x- 1)+ 4 cos( 2x-4)

Chọn A.

Ví dụ 9: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= ( x2+1)3 .

A. 3 .( x2+1) 2+6x2 (x2+1)        B. 3 .( x2+1) 2+12x2 (x2+1)

C. 6 .( x2+1) 2-12x2 (x2+1)        D. 6 .( x2+1) 2+24x2 (x2+1)

Hướng dẫn giải

Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'=3(x2+1) 2.(x2+1)^'=6x.( x2+1) 2

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=6 .( x2+1) 2+6x.[( x2+1) 2]'

= 6 .( x2+1) 2+6x.2(x2+1).( x2+1)'

= 6 .( x2+1) 2+24x2 (x2+1)

Chọn D.

Ví dụ 10 : Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= √(x3+ 2x2 )

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Ví dụ 11. Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= tan2x

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'=2( 1+tan2 2x )

Đạ hàm cấp hai của hàm số là:

y''=2.( 1+tan2 2x )’= 2.2. tan2x. ( tan2x)’

=4tan2 x( 1+ tan22x) . ( 2x)’= 8tan2x( 1+ tan22x) = 8.tan2x+ 8tan32x

Đạo hàm cấp ba của hàm số là:

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Ví dụ 12: Tính đạo hàm cấp bốn của hàm số y= 1/x

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm tại điểm x≠0

Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'= (- 1)/x2

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Ví dụ 13: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= 1/(x2-5x+6)

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x≠2;x≠3

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Hay lắm đó

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số sau y= x9 – x4 + 8x2+ 3

A. 504x6 - 24x        B. 72x6 - 24x+ 3        C. 72x7 - 24x+ 3        D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'= 9x8 -4x3 + 16x

+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=(9x8-4x3+16x)' = 72x7 – 12x2 + 16

+ Đạo hàm cấp ba của hàm số là :

y'''=504x6-24x

Chon A.

Câu 2: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= x7-2x2+9x+ 2√x

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Lời giải:

Hàm số có đạo hàm nếu x > 0.

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Câu 3: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y=2 cos ( 10- 2x)

A. –16 sin( 10- 2x)        B. – 16 cos( 10- 2x)

C. - 8.sin( 10- 2x)        D.Đáp án khác

Lời giải:

Đạo hàm cấp một của hàm số đã cho là: y^'=4sin⁡( 10-2x)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là; y''=[ 4.sin⁡( 10-2x)]'= -8 cos⁡( 10-2x)

Đạo hàm cấp ba của hàm số là y''^'=[-8 cos⁡( 10-2x) ]'= -16 sin⁡( 10-2x)

Chọn A.

Câu 4: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= sin ( x2- 9)

A. 4x2. sin( x2 – 9) - 2.cos( x2 – 9)

B. - 2x2. sin( x2 – 9)+ 2.cos( x2 – 9)

C. - 4x2. sin( x2 – 9)+ 2.cos( x2 – 9)

D. Đáp án khác

Lời giải:

Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'=cos⁡( x2-9).( x2-9)'=cos⁡( x2-9).2x

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=[cos⁡( x2-9) ]'.2x+cos⁡( x2-9).( 2x)'

⇔y''=-2x.sin⁡( x2-9).2x+2 cos⁡( x2-9) = - 4x2. sin( x2 – 9)+ 2.cos( x2– 9)

Chọn C.

Câu 5: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= (x+3)/(x-6)?

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Lời giải:

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x≠6. Khi đó; đạo hàm cấp một của hàm số là :

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Câu 6: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= (x3 – 1) (x+1)

A. 12+ 24x        B. 24x+ 6        C. 12x+ 24        D. 24x+ 12

Lời giải:

Ta có: y = ( x3 – 1)( x+1)= x4 + x3 – x- 1

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là: y'=4x3+3x2-1

+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là: y''=(4x3+ 3x2-1)'=12x2+6x

+ Đạo hàm cấp ba của hàm số là: y'''=( 12x2+6x)'=24x+6

Chọn B.

Hay lắm đó

Câu 7: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y=x.sinx

A. cosx + x. sinx        B. 2sinx+ x. cosx

C. 2cosx- x. sinx        D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'=( x)'.sinx+x.( sinx)' = sinx+ x.cosx

+ Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''= ( sinx+ x. cosx)'=cosx+(x)'.cosx+x.(cos⁡x )'

=cosx+cosx-x.sinx=2.cosx-x.sinx

Chọn C

Câu 8: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= 3cos( x+ 1) - 8. sin( 3x+ 10)

A. y''= -3 cos⁡( x+1)+72 sin⁡( 3x+10)

B. y''= -3 cos⁡( x+1)+36 sin⁡( 3x+10)

C.y''= -3 cos⁡( x+1) -72sin⁡( 3x+10)

D. tất cả sai

Lời giải:

Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'= -3 sin⁡( x+1)-24 cos⁡( 3x+10)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''= -3 cos⁡( x+1)+72 sin⁡( 3x+10)

Chọn A.

Câu 9: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số: y= ( x3+2x-1)2 .

A. y''=( 3x2+2)( 6x2+4)- ( x3+2x-1).12x

B. y''=( 3x2+2)( 3x2+2)+( x3+2x-1).12x

C. y''=( 3x2+2)( 6x2+4)+( x3+2x-1).12x

D. Tất cả sai

Lời giải:

Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'=2( x3+2x-1).( x3+2x-1)^'

=2.(x3+2x-1).( 3x2+2)=(x3+2x-1).( 6x2+4)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y''=( x3+2x-1)' ( 6x2+4)+( x3+2x-1).( 6x2+4)'

⇔ y''=( 3x2+2)( 6x2+4)+( x3+2x-1).12x

Chọn C.

Câu 10: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y= √(2x+1)+x2

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Lời giải:

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x thỏa mãn: x > 1/2

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Câu 11: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y=cot( 2- 2x)

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Lời giải:

Đạo hàm cấp một của hàm số là:

y'=-[1+cot2 ( 2- 2x)]( 2-2x)'= 2[1+ cot2 ( 2-2x)] )

Đạ hàm cấp hai của hàm số là:

y''=2 [1+cot2 (2- 2x)]’ = 2.2. cot (2- 2x). [cot⁡( 2-2x)]'

y''=4 cot⁡( 2-2x).[-1( 1+ cot2 ( 2-2x)].( 2-2x)'

⇔ y''=8 cot⁡( 2-2x) [1+ cot2 ( 2-2x)] = 8cot( 2- 2x)+ 8cot3( 2- 2x)

Đạo hàm cấp ba của hàm số là:

y'''=(8 cot⁡( 2- 2x)+8cot3 ( 2- 2x)) '

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Câu 12: Tính đạo hàm cấp ba của hàm số y= 1/(2x-2)

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Lời giải:

Hàm số có đạo hàm tại điểm x≠1

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Câu 13: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số y = cos( x2+x+ 1)

A. y''= -cos⁡( x2+x+1).( 2x+1) 2 – 2 sin( x2 + x+ 1)

B. y''= cos⁡( x2+x+1).( 2x+1) 2 + 2 sin( x2 + x+ 1)

C. y''= -cos⁡( x2+x+1).( 2x+1) 2 - sin( x2 + x+ 1)

D. Tất cả sai

Lời giải:

Đạo hàm cáp một của hàm số là:

y'= -sin⁡( x2+x+1).( x2+x+1)'= -sin⁡(x2+x+1).( 2x+1)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là;

y''=[-sin⁡( x2+x+1) ]'.(2x+1)+[-sin⁡(x2+x+1) ].( 2x+1)'

⇔ y''= -cos⁡( x2+x+1).( 2x+1) 2 – 2 sin( x2 + x+ 1)

Chọn A

Câu 14: Tính đạo hàm cấp 4 của hàm số; y=(x2+x+1)/(x+1)

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Lời giải:

Hàm số có đạo hàm tại các điểm x thỏa mãn: x≠-1

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Câu 15: Cho hàm số: y=sin⁡(3x- π/3). Tính đạo hàm cấp năm của hàm số

Cách tìm đạo hàm cấp cao của hàm số hay, chi tiết - Toán lớp 11

Lời giải:

Đạo hàm cấp một là; y'=3.cos⁡( 3x- π/3)

Đạo hàm cấp hai của hàm số là: y''=-9.sin⁡( 3x- π/3)

Đạo hàm cấp ba của hàm số là: y'''=-27.cos⁡( 3x- π/3)

Đạo hàm cấp bốn của hàm số: y(( 4))=81 sin⁡( 3x- π/3)

Đạo hàm cấp năm của hàm số: y((5))=243.cos⁡( 3x- π/3)

Chọn C.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có lời giải hay khác: