Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng. Thiết diện qua 1 điểm song song với mặt phẳng - Toán lớp 11
Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng. Thiết diện qua 1 điểm song song với mặt phẳng
Với Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng. Thiết diện qua 1 điểm song song với mặt phẳng Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng. Thiết diện qua 1 điểm song song với mặt phẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
A. Phương pháp giải
Xác định lần lượt các giao tuyến của (P) với các mặt của hình chóp (lăng trụ) theo các bước sau
- Từ điểm chung có sẵn , xác định giao tuyến đầu tiên của (P) với một mặt của hình chóp (Có thể là mặt trung gian)
- Cho giao tuyến này cắt các cạnh của mặt đó của hình chóp ta sẽ được các điểm chung mới của (P) với các mặt khác. Từ đó xác định được các giao tuyến mới với các mặt này
- Tiếp tục như thế cho tới khi các giao tuyến khép kín ta được thiết diện .
Sử dụng định lí:
+ Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng song song với 2 đường thẳng đó
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) song song với (SBD) và qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A hoặc C). Thiết diện của (P) và hình chóp là hình gì?
A. Hình hình hành
B. Tam giác cân
C. Tam giác vuông
D. Tam giác đều
Lời giải
Gọi MN là đoạn thẳng giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt đáy (ABCD).
+ Lập luận tương tự, ta có
(P) cắt mặt (SAD) theo đoạn giao tuyến NP với NP // SD
(P) cắt mp (SAB) theo đoạn giao tuyến MP với MP // SB
Vậy tam giác PMN đồng dạng với tam giác SBD nên thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD là tam giác đều MNP.
Chọn D
Ví dụ 2: Nếu thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất mấy cạnh?
A. 3 cạnh B. 4 cạnh C. 5 cạnh D. 6 cạnh.
Lời giải
Chọn C
Đa giác thiết diện của một lăng trụ tam giác và một mặt phẳng có nhiều nhất 5 cạnh với các cạnh thuộc các mặt của hình lăng trụ tam giác.
Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I là trung điểm của A’B’. Mặt phẳng (IBD) cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì?
A. Tam giác
B. Hình thang
C. Hình bình hành.
D. Hình chữ nhật
Lời giải
+ Ta tìm giao tuyến của 2 mp(IBD) và (A’B’C’D’) :
⇒ Giao tuyến của (IBD) với (A’B’C’D’) là đường thẳng d đi qua I và song song với BD
+ Trong mặt phẳng (A’B’C’D’) , gọi M là giao điểm của d và A’D’
⇒ IM // BD // B’D’
Khi đó thiết diện là tứ giác IMDB và tứ giác này là hình thang
Chọn B
Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua một cạnh của hình hộp và cắt hình hộp theo thiết diện là một tứ giác (T). Khẳng định nào sau đây không sai?
A. (T) là hình chữ nhật
B. (T) là hình bình hành
C. (T) là hình thoi
D. (T) là hình vuông
Lời giải
+ Giả sử mặt phẳng (α) đi qua cạnh AB và cắt hình hộp theo tứ giác (T)
+ Gọi d là đường thẳng giao tuyến của (α) và mặt phẳng (A’B’C’D’)
+ Gọi d cắt A’D’ và B’C’ tại M và N khi đó MN = AB và MN // AB
⇒ Thiết diện cần tìm là hình bình hành ABNM.
Chọn B
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC thỏa mãn: AB = AC = 4; ∠BAC = 30°. Mặt phẳng (P) song song với (ABC) cắt đoạn SA tại M sao cho SM = 2MA. Diện tích thiết diện của (P) và hình chóp S.ABC bằng bao nhiêu?
A. 16/9 B. 14/9 C. 25/9 D. 1
Lời giải
+ Diện tích tam giác ABC là:
+ Gọi N; P lần lượt là giao điểm của mặt phẳng (P) và các cạnh SC; SB
+ Vì (P) // (ABC) nên theoo định lí Talet, ta có:
Khi đó (P) cắt hình chóp S.ABC theo thiết diện là tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k = 2/3.
Chọn A
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với cạnh bên BC = 2 hai đáy AB = 6 và CD = 4. Mặt phẳng (P) song song với (ABCD) và cắt cạnh SA tại M sao cho SA = 3 SM. Diện tích thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?
Lời giải
Gọi H; K lần lượt là hình chiếu vuông góc của D; C trên AB
+ Tứ giác DCKH là hình chữ nhật (hình bình hành có 1 góc vuông) nên CD = HK = 4
+ Ta có; AH = KB và AH + HK + KB = AB
⇒ 2.AH + 4 = 6 nên AH = KB = 1
+ Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông CKB có:
Suy ra diện tích hình thang ABCD là:
+ Gọi N; P; O lần lượt là giao điểm của (P) và các cạnh SB; SC; SD
Vì (P) // (ABCD) nên theo định lí Talet, ta có:
Khi đó (P) cắt hình chóp theo thiết diện là MNPO có diện tích:
Chọn A
Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I; J lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AIJ) với hình lăng trụ đã cho là:
A. Tam giác cân B. Tam giác vuông C. Hình thang D. Hình bình hành.
Lời giải
Kéo dài AI cắt BC tại M, suy ra M là trung điểm BC
Ta có
Trong mặt phẳng (A’B’C’), gọi M' = A'J ∩ B'C'
Khi đó thiết diện là tứ giác AA’JI, tứ giác này có
Chọn D
Ví dụ 8: Cho tứ diện đều S.ABC. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SIC). Thiết diện tạo bởi (α) với tứ diện S.ABC là:
A. Tam giác cân tại M
B. Tam giác đều
C. Hình bình hành
D. Hình thoi
Lời giải
Gọi N; P lần lượt nằm trên các cạnh SA; AC sao cho
Vậy thiết diện là tam giác MNP.
Tứ diện S.ABC đều nên tam giác SIC cân tại I
Ngoài ra ta có 
Suy ra tam giác MNP cân tại M
Chọn A
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có tâm O; AB = 8, SA = SB = 6. Gọi (P) là mặt phẳng qua O và song song với (SAB). Tính diện tích thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD là:
A. 5√5 B. 6√5 C. 12 D. 10
Lời giải:
+ Qua O kẻ đường thẳng d song song AB và cắt BC; AD lần lượt tại P; Q.
+ Kẻ PN song song với SB ( N ∈ SC) , kẻ QM song song với SA (M ∈ SD)
+ Ta có:
⇒ mp(MNPQ) // mp(SAB)
+ Thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(P) là tứ giác MNPQ
+ Vì P; Q là trung điểm của BC; AD và PN // SB; QM // SA
Nên N; M lần lượt là trung điểm của SC; SD.
⇒ MN // CD // PQ nên tứ giác MNPQ là hình thang.
+ Do đó MN là đường trung bình tam giác SCD nên : MN = CD/2 = AB/2 = 4
Và NP = SB/2 = 3; QM = SA/2 = 3
⇒ NP = QM nên MNPQ là hình thang cân.
+ Hạ NH; MK vuông góc với PQ. Ta có: PH = KQ = (1/2)(PQ - MN) = 2
Tam giác PHN vuông, có:
Vậy diện tích hình thang MNPQ là
Chọn B
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M; N lần lượt là trung điểm của AB; CD. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) đi qua MN và song song với mặt phẳng (SAD). Thiết diện là hình gì?
A. Tam giác
B. Hình thang
C. Hình bình hành
D. Tứ giác
Lời giải:
Thiết diện là tứ giác MNHK
Ba mặt phẳng (ABCD); (SBC) và (α) đôi một cắt nhau theo các giao tuyến là MN; HK; BC
mà MN // BC nên MN // HK.
Vậy thiết diện là một hình thang
Chọn B
Câu 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi I là trung điểm AB. Mp (IB’D’) cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì?
A. Tam giác
B. Hình thang
C. Hình bình hành
D. Hình chữ nhật
Lời giải:
Chọn B
Ta tìm giao tuyến của mp(IB’D’) với các mặt của hình chóp:
+ (IB'D') ∩ (AA'B'B) = IB'
+ (IB'D') ∩ (A'B'C'D') = B'D'
với d là đường thẳng qua I và song song với BD
+ Gọi J là trung điểm của AD
Khi đó (IB'D') ∩ (ABCD) = IJ
(IB'D') ∩ (ADD'A') = JD'
Thiết diện cần tìm là hình thang IJD’B’ với IJ // D’B’
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, gọi M là trung điểm của OC. Mặt phẳng (α) qua M song song với SA và BD. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (α) là:
A. Hình tam giác
B. Hình bình hành
C. Hình chữ nhật
D. Hình thang
Lời giải:
Chọn A
⇒ Thiết diện cần tìm là tam giác NEF
Câu 5: Nếu thiết diện của một hình hộp và một mặt phẳng là một đa giác thì đa giác đó có nhiều nhất mấy cạnh ?
A. 4 cạnh
B 5 cạnh
C. 6 cạnh
D. 7 cạnh
Lời giải:
Chọn C
Vì hình hộp là hình lăng trụ có đáy là tứ giác và có 6 mặt nên thiết diện của hình hộp và mặt phẳng bất kì là một đa giác có nhiều nhất 6 cạnh
Câu 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (MA’C’) cắt hình hộp ABCD.A’B’C’D’ theo thiết diện là hình gì?
A. Hình tam giác
B. Hình ngũ giác
C. Hình lục giác
D. Hình thang
Lời giải:
Chọn D
+ Trong mặt phẳng (ABB’A’), AM cắt BB’ tại I
Do MB // A'B'; MB = (1/2)A'B' nên B là trung điểm B’I và M là trung điểm của IA’
+ Gọi N là giao điểm của BC và IC’
Do BN // B’C’ và B là trung điểm B’I nên N là trung điểm của C’I.
Suy ra: tam giác IA’C’ có MN là đường trung bình và MN // A’C’.
⇒ Thiết diện của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ cắt bởi mp(MA’C’) là tứ giác MNC’A’ có MN // A’C’
Vậy thiết diện là hình thang MNC’A’
Câu 7: Cho tứ diện đều S.ABC cạnh bằng a. Gọi I là trung điểm của đoạn AB, M là điểm di động trên đoạn AI. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SIC). Tính chu vi của thiết diện tạo bởi (α) với tứ diện S.ABC, biết AM = x
A. x(1 + √3) B. 2x(1 + √3) C. 3x(1 + √3) D. Không tính được.
Lời giải:
+ Tìm thiết diện:
Gọi N; P lần lượt nằm trên các cạnh SA; AC sao cho
(MPN) || (SIC) ⇒ (MNP) ≡ (α)
Vậy thiết diện là tam giác MNP
Tứ diện S.ABC đều nên tam giác SIC cân tại I
Ngoài ra ta có
Suy ra tam giác MNP cân tại M
Để ý hai tam giác và đồng dạng với tỉ số AM/AI = 2x/a
Chọn B
Câu 8: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là điểm di động trên đoạn AB. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SBC). Thiết diện tạo bởi (α) và hình chóp S.ABCD là hình gì?
A. Hình tam giác
B. Hình bình hành
C. Hình thang
D. Hình vuông
Lời giải:
Lần lượt lấy các điểm N;P; Q thuộc các cạnh CD; SD và SA thỏa mãn MN // BC; NP // SC và PQ // AD.
Suy ra (α) ≡ (MNPQ) và (α) || (SBC).
Vậy thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(α) là tứ giác MNPQ.
Lại có: QP // AD // MN
⇒ MNPQ là hình thang
Chọn C
D. Các dạng khác
Câu 9: Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A’B’C’ có 2 đáy là 2 tam giác vuông tại A và A’ và có AB/A'B' = 1/2. Khi đó tỉ số diện tích : SABC/SA'B'C' bằng:
A. 1/2 B. 1/4 C. 2 D. 4
Lời giải:
Hình chóp cụt ABC.A’B’C’ có hai mặt đáy là hai đa giác có cạnh tương ứng song song và tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau:
⇒ tam giác ABC đồng dạng tam giác A”B’C’ suy ra:
Chọn B
Câu 10: Cho tứ diện ABCD và M; N là các điểm thay trên các cạnh AB; CD sao cho AM/MB = CN/ND = k.
a) Chứng minh MN luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định.
b) Tính theo k tỉ số diện tích tam giác MNP và diện tích thiết diện.
Lời giải:
a) Do nên theo định lí Thales thì các đường thẳng MN; AC; BD cùng song song với một mặt phẳng (β)
+ Gọi (α) là mặt phẳng đi qua AC và song song với BD thì (α) cố định và (α) // (β)
suy ra : MN luôn song song với (α) cố định.
b)
+ Xét trường hợp AP/PC = k, lúc này MP // BC nên BC // (MNP)
Do AM/NB = CN/ND nên theo định lí Thales đảo thì AC; NM; BD lần lượt thuộc ba mặt phẳng song song với nhau và đường thẳng PQ cắt ba mặt phẳng này tương ứng tại P; K; Q
nên áp dụng định lí Thales ta được:
Chọn A
Câu 11: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh a. Các điểm M; N lần lượt trên AD’; BD sao cho AM = DN = x (0 < x < a√2)
a) Chứng minh khi x biến thiên, đường thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định
b) Chứng minh khi x = (a.√2)/3 thì MN // A’C
Lời giải:
a) Gọi (P) là mặt phẳng qua AD và song song với (A’D’CB)
Gọi (Q) là mặt phẳng qua M và song song với (A’D’CB). Giả sử (Q) cắt BD tại điểm N’
Theo định lí Thales ta có AM/AD' = DN'/DB
Vì các mặt của hình hộp là hình vuông cạnh a nên AD’ = DB = a√2.
Từ ( 1) ta có AM = DN’, mà DN = AM nên DN’ = DN
⇒ N’ ≡ N và MN ⊂ (Q)
Vậy MN luôn song song với mặt phẳng cố định (A’D’CB)
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Ta có
suy ra N là trọng tâm của tam giác ACD
Tương tự M là trọng tâm của tam giác A’AD.
Gọi I là trung điểm của AD ta có :
Câu 12: Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M là điểm di động trên đoạn AB. Qua M vẽ mặt phẳng (α) song song với (SBC). Gọi N; P; Q lần lượt là giao của mặt phẳng (α) với các đường thẳng CD; SD; SA. Tập hợp các giao điểm I của hai đường thẳng MQ và NP là:
A. Đường thẳng song song với AB
B. Nửa đường thẳng
C. Đoạn thẳng song song với AB
D. Tập hợp rỗng
Lời giải:
Lần lượt lấy các điểm N; P; Q thuộc các cạnh CD; SD; SA thỏa mãn:
MN // BC; NP // SC và PQ // AD
Suy ra (α) ≡ (MNPQ) và (α) // (SBC)
Vì I = MQ ∩ NP nên:
I, S ∈ (SCD)
I, S ∈ (SAB)
⇒ I nằm trên đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
Khi 
với T là điểm thỏa mãn tứ giác ABST là hình bình hành
Vậy quỹ tích cần tìm là đoạn thẳng song song với AB
Chọn C
