Cách xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng - Toán lớp 11
Cách xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng
Với Cách xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.
A. Phương pháp giải
Cho mặt phẳng (α) và đường thẳng a không vuông góc với (α). Xác định mặt phẳng (β) chứa a và vuông góc với (α)
- Để giải bài toán này ta làm theo các bước sau:
+ Chọn một điểm A ∈ a
+ Dựng đường thẳng b đi qua A và vuông góc với (α). Khi đó mp(a; b) chính là mặt phẳng (β).
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến Δ. Lấy A; B cùng thuộc Δ và lấy C trên (P), D trên (Q) sao cho AC ⊥ AB, BD ⊥ AB và AB = AC = BD. Thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với CD là hình gì?
A. Tam giác cân. B. Hình vuông
C. Tam giác đều. D. Tam giác vuông
Hướng dẫn giải
Gọi I là trung điểm của BC
Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AI ⊥ BC
Ta có
Trong (ACD) , dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với CD cắt CD tại H
Thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α) là tam giác AHI.
Vì AI ⊥ (BCD) ⇒ AI ⊥ HI nên tam giác AHI là tam giác vuông tại I.
Chọn D
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (SCD), (α) cắt chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?
A. hình bình hành
B. hình thang vuông
C. hình thang không vuông
D. hình chữ nhật
Hướng dẫn giải
Dựng AH ⊥ CD
Ta có
Từ đó thiết diện là hình thang ABKH
Mặt khác AB ⊥ (SAD) nên AB ⊥ AH
Vậy thiết diện là hình thang vuông tại A và H
Chọn đáp án B
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật tâm O có AB = a ; AD = 2a ; SA vuông góc với đáy và SA = a. Gọi (P) là mặt phẳng qua SO và vuông góc với (SAD). Diện tích thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Trong (ABCD) dựng đường thẳng d qua O và d // AB.
Gọi M và N lần lượt là giao điểm của d với BC và AD.
Ta có : AB ⊥ AD và AB ⊥ SA nên AB ⊥ (SAD)
Lại có: MN // AB ⇒ MN ⊥ (SAD).
⇒ ( SMN) ⊥ (SAD) (1)
Mà SO ⊂ (SMN) nên (P) chính là (SMN).
⇒ Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (P) là tam giác SMN.
Do MN ⊥ (SAD) nên MN ⊥ SN; tam giác SMN vuông tại N.
Ví dụ 4: Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến Δ. Lấy A; B cùng thuộc Δ và lấy C trên (P), D trên (Q) sao cho AC ⊥ AB, BD ⊥ AB và AB = AC = BD = a. Diện tích thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với CD là?
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có:
Gọi H là trung điểm BC, ta có 
Trong mặt phẳng (BCD), kẻ HI ⊥ CD thì ta có CD ⊥ (AHI)
Khi đó mặt phẳng (α) cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là tam giác AHI
Mặt khác tam giác ABC vuông cân tại A nên BC = a√2 ⇒ AH = a√2/2
Trong tam giác BCD, kẻ đường cao BK thì BK = a√2/√3 và HI = a/√6
Vậy: thiết diện cần tìm là tam giác AHI vuông tại H và có diện tích S = a2√3/12
Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng AbC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, với AB = c; AC = b , cạnh bên AA’ = h. Mặt phẳng (P) đi qua A’ và vuông góc với B’C. Thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) có hình:
A. h1 và h2 B. h2 và h3 C. h2 D. h1
Hướng dẫn giải
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A’ và vuông góc với BC.
Từ A’ ta dựng A'K' ⊥ B'C', Vì (ABC) ⊥ (BCC'B') nên A'K' ⊥ B'C' ⇒ A'K' ⊥ (BCC'B') ⇒ A'K' ⊥ BC' (1)
Mặt khác trong mặt phẳng (BCC'B') dựng K'x ⊥ B'C và cắt BB’ tại 1 điểm N(2) Từ (1) và (2) ta có :
Chọn đáp án A
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Thiết diện là hình gì?
A. Hình vuông
B. Lục giác đều
C. Ngũ giác đều
D. Tam giác đều
Lời giải:
Ta có AC là hình chiếu của AC’ lên (ABCD) mà AC ⊥ BD nên AC' ⊥ BD (1)
Ta có
Mặt phẳng trung trực AC’ là mặt phẳng (α) đi qua trung điểm I của AC’ và (α) ⊥ AC' (4)
Từ (3) và (4) suy ra 
Do đó :
Qua I dựng MQ // BD
Dựng:
MN // A'D
NP // B'D' // BD
QK // B'C // A'D
KH // BD
Mà MN = NP = PQ = QK = KM = a√2/2
Suy ra thiết diện là lục giác đều.
Chọn đáp án B
