Cách xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng - Toán lớp 11


Cách xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng

Với Cách xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng Toán lớp 11 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Cách xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng

A. Phương pháp giải

Cho mặt phẳng (α) và đường thẳng a không vuông góc với (α). Xác định mặt phẳng (β) chứa a và vuông góc với (α)

Cách xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng - Toán lớp 11

- Để giải bài toán này ta làm theo các bước sau:

+ Chọn một điểm A ∈ a

+ Dựng đường thẳng b đi qua A và vuông góc với (α). Khi đó mp(a; b) chính là mặt phẳng (β).

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến Δ. Lấy A; B cùng thuộc Δ và lấy C trên (P), D trên (Q) sao cho AC ⊥ AB, BD ⊥ AB và AB = AC = BD. Thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với CD là hình gì?

A. Tam giác cân.                 B. Hình vuông

C. Tam giác đều.                 D. Tam giác vuông

Hướng dẫn giải

Cách xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng - Toán lớp 11

Gọi I là trung điểm của BC

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AI ⊥ BC

Ta có

Cách xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng - Toán lớp 11

Trong (ACD) , dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với CD cắt CD tại H

Thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α) là tam giác AHI.

Vì AI ⊥ (BCD) ⇒ AI ⊥ HI nên tam giác AHI là tam giác vuông tại I.

Chọn D

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Gọi (α) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với (SCD), (α) cắt chóp S.ABCD theo thiết diện là hình gì?

A. hình bình hành

B. hình thang vuông

C. hình thang không vuông

D. hình chữ nhật

Hướng dẫn giải

Cách xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng - Toán lớp 11

Dựng AH ⊥ CD

Ta có

Cách xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng - Toán lớp 11

Từ đó thiết diện là hình thang ABKH

Mặt khác AB ⊥ (SAD) nên AB ⊥ AH

Vậy thiết diện là hình thang vuông tại A và H

Chọn đáp án B

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình chữ nhật tâm O có AB = a ; AD = 2a ; SA vuông góc với đáy và SA = a. Gọi (P) là mặt phẳng qua SO và vuông góc với (SAD). Diện tích thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD bằng bao nhiêu?

Cách xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Trong (ABCD) dựng đường thẳng d qua O và d // AB.

Gọi M và N lần lượt là giao điểm của d với BC và AD.

Ta có : AB ⊥ AD và AB ⊥ SA nên AB ⊥ (SAD)

Lại có: MN // AB ⇒ MN ⊥ (SAD).

⇒ ( SMN) ⊥ (SAD)   (1)

Mà SO ⊂ (SMN) nên (P) chính là (SMN).

⇒ Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (P) là tam giác SMN.

Do MN ⊥ (SAD) nên MN ⊥ SN; tam giác SMN vuông tại N.

Cách xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng - Toán lớp 11

Hay lắm đó

Ví dụ 4: Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến Δ. Lấy A; B cùng thuộc Δ và lấy C trên (P), D trên (Q) sao cho AC ⊥ AB, BD ⊥ AB và AB = AC = BD = a. Diện tích thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua A và vuông góc với CD là?

Cách xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng - Toán lớp 11

Hướng dẫn giải

Cách xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng - Toán lớp 11

Chọn C

Ta có:

Cách xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng - Toán lớp 11

Gọi H là trung điểm BC, ta có Cách xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng - Toán lớp 11

Trong mặt phẳng (BCD), kẻ HI ⊥ CD thì ta có CD ⊥ (AHI)

Khi đó mặt phẳng (α) cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là tam giác AHI

Mặt khác tam giác ABC vuông cân tại A nên BC = a√2 ⇒ AH = a√2/2

Trong tam giác BCD, kẻ đường cao BK thì BK = a√2/√3 và HI = a/√6

Vậy: thiết diện cần tìm là tam giác AHI vuông tại H và có diện tích S = a2√3/12

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng AbC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, với AB = c; AC = b , cạnh bên AA’ = h. Mặt phẳng (P) đi qua A’ và vuông góc với B’C. Thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng (P) có hình:

Cách xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng - Toán lớp 11

A. h1 và h2                  B. h2 và h3                 C. h2                 D. h1

Hướng dẫn giải

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A’ và vuông góc với BC.

Từ A’ ta dựng A'K' ⊥ B'C', Vì (ABC) ⊥ (BCC'B') nên A'K' ⊥ B'C' ⇒ A'K' ⊥ (BCC'B') ⇒ A'K' ⊥ BC'   (1)

Mặt khác trong mặt phẳng (BCC'B') dựng K'x ⊥ B'C và cắt BB’ tại 1 điểm N(2) Từ (1) và (2) ta có :

Cách xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng - Toán lớp 11

Chọn đáp án A

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Thiết diện là hình gì?

A. Hình vuông

B. Lục giác đều

C. Ngũ giác đều

D. Tam giác đều

Lời giải:

Cách xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng - Toán lớp 11

Ta có AC là hình chiếu của AC’ lên (ABCD) mà AC ⊥ BD nên AC' ⊥ BD   (1)

Ta có

Cách xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng - Toán lớp 11

Mặt phẳng trung trực AC’ là mặt phẳng (α) đi qua trung điểm I của AC’ và (α) ⊥ AC'    (4)

Từ (3) và (4) suy ra Cách xác định thiết diện chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng - Toán lớp 11

Do đó :

Qua I dựng MQ // BD

Dựng:

MN // A'D

NP // B'D' // BD

QK // B'C // A'D

KH // BD

Mà MN = NP = PQ = QK = KM = a√2/2

Suy ra thiết diện là lục giác đều.

Chọn đáp án B

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 chọn lọc, có lời giải hay khác: