Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Biết rằng I cũng là giao điểm

Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Biết rằng I cũng là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.

Giải vở bài tập Toán 7 Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

Câu 4 trang 117 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Biết rằng I cũng là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC. Chứng minh tam giác ABC đều.

Lời giải:

Do I thuộc đường thẳng trung trực của đoạn thẳng BC nên IB = IC.

Suy ra tam giác IBC là tam giác cân tại I.

Suy ra $\widehat{IBC}$ = $\widehat{ICB}$ (hai góc đáy của tam giác cân).

Vì BI là tia phân giác góc B nên $\widehat{ABC}$ = 2 $\widehat{IBC}$.

Vì CI là tia phân giác góc C nên $\widehat{ACB}$ = 2$\widehat{ICB}$.

Suy ra $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$. Chứng minh tương tự ta cũng có $\widehat{BAC}$ = $\widehat{BCA}$.

Do đó $\widehat{ABC}$ = $\widehat{ACB}$ = $\widehat{BAC}$. Vậy tam giác ABC là tam giác đều.