Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AB < CD, AD = BC

Giải vở bài tập Toán 7 Bài 9: Đường trung trực của một đoạn thẳng

Câu 5 trang 104 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AB < CD, AD = BC. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Đường thẳng qua I song song với AD cắt đoạn thẳng KD tại M. Đường thẳng qua I song song với BC cắt KC tại N Hình 73. Chứng minh:

a) IM = IN;

b) IK là đường trung trực của hai đoạn thẳng AB và CD.

Lời giải:

Vẽ các đoạn thẳng IC, ID. Xét hai tam giác ADI và MID, ta có

$\widehat{\mathrm{ADI}}$= $\widehat{\mathrm{DIM}}$ (hai góc so le trong);

ID là cạnh chung;

$\widehat{\mathrm{AID}}$= $\widehat{\mathrm{IDM}}$(hai góc so le trong).

Suy ra ∆ADI = ∆MID (g.c.g). Do đó AD = MI, IA = DM (các cặp cạnh tương ứng)

Chứng minh tương tự ta có BC = IN, IB = NC

a) Vì AD = BC, AD = MI, BC = IN nên IM = IN.

b) Vì IA = IB, IA = DM, IB = CN nên DM = CN. Mà KC = KD nên KM = KN.

Vì IM = IN và KM = KN nên IK là đường trung trực của đoạn thẳng MN.

Suy ra IK $\perp$ MN. Do đó IK $\perp$ CD. Mà AB // CD nên IK $\perp$ AB.

Vì IK $\perp$ CD, KC = KD nên IK là đường trung trực của đoạn thẳng CD.

Vì IK $\perp$ AB, IA = IB nên IK là đường trung trực của đoạn thẳng AB.