Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, D nằm trên BC sao cho BD = 2DC

Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, D nằm trên BC sao cho BD = 2DC. Trên đường thẳng AC, lấy điểm E sao cho C là trung điểm của AE (H.9.47). Chứng minh rằng tam giác ABE cân tại A.

Giải vở thực hành Toán 7 Bài tập cuối chương 9

Bài 4 (9.39) trang 88 vở thực hành Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, D nằm trên BC sao cho BD = 2DC. Trên đường thẳng AC, lấy điểm E sao cho C là trung điểm của AE (H.9.47). Chứng minh rằng tam giác ABE cân tại A.

Gợi ý. D là trọng tâm của tam giác ABE; tam giác này có đường phân giác AD đồng thời là đường trung tuyến.

Lời giải:

$\Delta ABE$ có C là trung điểm của AE nên BC là đường trung tuyến của $\Delta ABE$.

BC = BD + DC = 2DC + DC = 3DC.

Do đó DC = $\frac{1}{3}$BC, BD = $\frac{2}{3}$BC.

Trên đường trung tuyến BC có điểm D thỏa mãn BD = $\frac{2}{3}$BC nên D là trọng tâm của $\Delta ABE$.

Do đó AD là đường trung tuyến của $\Delta ABE$.

$\Delta ABE$ có AD vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác nên $\Delta ABE$ cân tại A.