Bài 1.23 trang 32 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

---

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Giải Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - Kết nối tri thức

Bài 1.23 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x^2-x+4}{x-1}$;                             b) $y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}$.

Lời giải:

a) $y=\frac{2x^2-x+4}{x-1}$

1. Tập xác định của hàm số là ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên

Có $y=\frac{2x^2-x+4}{x-1}=2x+1+\frac{5}{x-1}$

+) Có $y^{\text{'}}=2-\frac{5}{{\left(x-1\right)}^2}; y^{\text{'}}=0\iff 2-\frac{5}{{\left(x-1\right)}^2}=0\iff x=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$hoặc $x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$.

+) Trên các khoảng $\left(-\infty ;\frac{2-\sqrt{10}}{2}\right)$ và $\left(\frac{2+\sqrt{10}}{2};+\infty \right)$, có y' > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này.

Trên các khoảng $\left(\frac{2-\sqrt{10}}{2};1\right)$ và $\left(1;\frac{2+\sqrt{10}}{2}\right)$, có y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên khoảng này.

+) Hàm số đạt cực cực đại tại $x=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$ và đạt cực tiểu tại $x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$.

+) $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2-x+4}{x-1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}=-\infty$;

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2-x+4}{x-1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}=+\infty$

+) Tiệm cận

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2x^2-x+4}{x-1}=+\infty ; \underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{2x^2-x+4}{x-1}=-\infty$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(2x+1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5}{x-1}=0; \underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(2x+1\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{5}{x-1}=0$

Do đó x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và y = 2x +1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; −4).

+) Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 3) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

b) $y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}$

1. Tập xác định của hàm số là ℝ\{−3}.

2. Sự biến thiên

Có $y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}=x-1+\frac{4}{x+3}$

+) Có $y^{\text{'}}=1-\frac{4}{{\left(x+3\right)}^2};y^{\text{'}}=0\iff 1-\frac{4}{{\left(x+3\right)}^2}=0\iff {\left(x+3\right)}^2=4\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=-5\end{array}\right.$

+) Trên các khoảng (−∞; −5) và (−1; +∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên các khoảng này.

Trên các khoảng (−5; −3) và (−3; −1), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên các khoảng này.

+) Hàm số đạt cực đại tại x = −5 với y_CĐ = −8; hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 với y_CT = 0.

+) $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x+3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2\left(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x\left(1+\frac{3}{x}\right)}=+\infty$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x+3}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2\left(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x\left(1+\frac{3}{x}\right)}=-\infty$

+) Tiệm cận

$\underset{x\to {\left(-3\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-3\right)}^{+}}{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x+3}=+\infty ;\underset{x\to {\left(-3\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-3\right)}^{-}}{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x+3}=-\infty$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(x-1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4}{x+3}=0$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(x-1\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4}{x+3}=0$

Do đó x = −3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung là $\left(0;\frac{1}{3}\right)$

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (−1; 0).

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(−3; −4) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số hay, chi tiết khác:

• Mở đầu trang 26 Toán 12 Tập 1: Một đơn vị sản xuất hàng tiêu dùng ước tính chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm ....

• HĐ1 trang 26 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = x² – 4x + 3. Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau ....

• Luyện tập 1 trang 28 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = −2x³ + 3x² – 5x. ....

• Luyện tập 2 trang 29 Toán 12 Tập 1: Giải bài toán ở tình huống mở đầu, coi f(x) là hàm số xác định với x ≥ 1. ....

• Vận dụng trang 29 Toán 12 Tập 1: Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40 lít nước ....

• Luyện tập 3 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{-x^2+3x-1}{x-2}$ ....

• Bài 1.21 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: ....

• Bài 1.22 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: ....

• Bài 1.24 trang 32 Toán 12 Tập 1: Một cốc chứa 30 ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100 mg/ml ....

• Bài 1.25 trang 32 Toán 12 Tập 1: Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở R₁ và R₂ thì điện trở tương đương R ....