Bài 1 trang 32 Chuyên đề Toán 10

---

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 1 trang 32 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 1 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$

a) $1.2+2.3+3.4+\mathrm{\dots }+n.(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3};$

b) $1+4+9+\mathrm{\dots }+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

c) $1+2+2^2+2^3+2^4+\mathrm{\dots }+2^{n-1}=2^n-1$

Lời giải:

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(1 + 1) = 2 = $\frac{1(1+1)(1+2)}{3}.$

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1.2+2.3+3.4+\mathrm{\dots }+k.(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1.2+2.3+3.4+\mathrm{\dots }+k.(k+1)+(k+1)[(k+1)+1]=\frac{(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]}{3}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1.2+2.3+3.4+\mathrm{\dots }+k.(k+1)+(k+1)[(k+1)+1]$

$=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)$

$=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+\frac{3(k+1)(k+2)}{3}$

$=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$

$=\frac{(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]}{3}.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 1² = 1 = $\frac{1(1+1)(2.1+2)}{6}.$

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1+4+9+\mathrm{\dots }+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1+4+9+\mathrm{\dots }+k^2+{(k+1)}^2=\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1+4+9+\mathrm{\dots }+k^2+{(k+1)}^2$

$=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+{(k+1)}^2$

$=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+\frac{6{(k+1)}^2}{6}$

$=\frac{k+1}{6}[k(2k+1)+6(k+1)]$

$=\frac{k+1}{6}[2k^2+7k+6]$

$=\frac{k+1}{6}(k+2)(2k+3)$

$=\frac{k+1}{6}[(k+1)+1][2(k+1)+1]$

$=\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

c) Bước 1. Với n = 1, ta có 2^{1 – 1} = 2⁰ = 1 = 2¹ – 1.

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1+2+2^2+2^3+2^4+\mathrm{\dots }+2^{k-1}=2^k-1.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1+2+2^2+2^3+2^4+\mathrm{\dots }+2^{k-1}+2^{(k+1)-1}=2^{k+1}-1.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1+2+2^2+2^3+2^4+\mathrm{\dots }+2^{k-1}+2^{(k+1)-1}$

$=(2^k-1)+2^{(k+1)-1}$

$=2^k-1+2^k$

$={2.2}^k-1$

$=2^{k+1}-1.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.