Bài 4 trang 32 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 4 trang 32 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 4 trang 32 Chuyên đề Toán 10: Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}:$

$\frac{a^n+b^n}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^n.$

Lời giải:

Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{a^1+b^1}{2}=\frac{a+b}{2}={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^1.$ Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $\frac{a^k+b^k}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^k.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$\frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^{k+1}.$

Ta có:

Vì (a^k – b^k) và (a – b) cùng dấu nên (a^k – b^k)(a – b) ≥ 0 với mọi k ≥ 1,

suy ra a^{k + 1} + b^{k + 1} ≥ a^kb + ab^k

$\Rightarrow$ (a^{k + 1} + b^{k + 1}) + (a^{k + 1} + b^{k + 1}) ≥ (a^kb + ab^k) + (a^{k + 1} + b^{k + 1}) = (a + b)(a^k + b^k)

$\Rightarrow$ 2(a^{k + 1} + b^{k + 1}) ≥ (a + b)(a^k + b^k)

$\Rightarrow \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\ge \frac{(a+b)}{2}.\frac{(a^k+b^k)}{2}$

$\Rightarrow \frac{a^{k+1}+b^{k+1}}{2}\ge \frac{a+b}{2}.\frac{a^k+b^k}{2}\ge \frac{a+b}{2}.{\left(\frac{a+b}{2}\right)}^k={\left(\frac{a+b}{2}\right)}^{k+1}.$

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.