Thực hành 4 trang 31 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Thực hành 4 trang 31 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Thực hành 4 trang 31 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$

$1+q+q^2+q^3+q^4+\mathrm{\dots }+q^{n-1}=\frac{1-q^n}{1-q}\mathit{\hspace{1em}}(q\ne 1).$

Lời giải:

Bước 1. Với n = 1, ta có q^{1 – 1} = q⁰ = 1 = $\frac{1-q}{1-q}=\frac{1-q^1}{1-q}.$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1+q+q^2+q^3+q^4+\mathrm{\dots }+q^{k-1}=\frac{1-q^k}{1-q}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1+q+q^2+q^3+q^4+\mathrm{\dots }+q^{k-1}+q^{(k+1)-1}=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1+q+q^2+q^3+q^4+\mathrm{\dots }+q^{k-1}+q^{(k+1)-1}$

$=\frac{1-q^k}{1-q}+q^{(k+1)-1}=\frac{1-q^k}{1-q}+q^k=\frac{1-q^k+q^k(1-q)}{1-q}=\frac{1-q^k+q^k-q^{k+1}}{1-q}$

$=\frac{1-q^{k+1}}{1-q}.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.