Thực hành 1 trang 29 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Thực hành 1 trang 29 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Thực hành 1 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$

$1+2+3+\mathrm{\dots }+n=\frac{n(n+1)}{2}.$

Lời giải:

Bước 1. Với n = 1, ta có 1 = $\frac{1(1+1)}{2}.$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $1+2+3+\mathrm{\dots }+k=\frac{k(k+1)}{2}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1+2+3+\mathrm{\dots }+k+(k+1)=\frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$$\begin{gathered} 1+2+3+\mathrm{\dots }+k+(k+1) \\ =\frac{k(k+1)}{2}+\frac{2(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}=\frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2}. \end{gathered}$$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.