Bài 2.6 trang 30 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 2.6 trang 30 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 2.6 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Cho tổng S_n = $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n+1\right)}.$

a) Tính S₁, S₂, S₃.

b) Dự đoán công thức tính tồng S_n và chứng minh bằng quy nạp.

Lời giải:

a) S₁ = $\frac{1}{1\left(1+1\right)}=\frac{1}{2},$ S₂ = $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}=\frac{2}{3},$ S₃ = $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}=\frac{3}{4}.$

b) Từ câu a) ta dự đoán S_n = $\frac{n}{n+1}.$

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Bước 1. Với n = 1 ta có S₁ = $\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1}.$

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: S_k = $\frac{k}{k+1}.$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

S_{k + 1} = $\frac{k+1}{\left(k+1\right)+1}.$

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

S_{k + 1} = $\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{k\left(k+1\right)}+\frac{1}{\left(k+1\right)\left[\left(k+1\right)+1\right]}$

= S_k + $\frac{1}{\left(k+1\right)\left[\left(k+1\right)+1\right]}$

$=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{\left(k+1\right)\left[\left(k+1\right)+1\right]}$

$=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{k\left(k+2\right)+1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}$

$=\frac{k^2+2k+1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{{\left(k+1\right)}^2}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{k+1}{k+2}=\frac{k+1}{\left(k+1\right)+1}.$

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.