Luyện tập 2 trang 28 Chuyên đề Toán 10


Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Luyện tập 2 trang 28 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Luyện tập 2 trang 28 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có đằng thức:

an – bn = (a – b)(an – 1 + an – 2b + ... + abn –2 + bn – 1).

Lời giải:

Bước 1. Khi n = 1, ta có: a1 – b1 = a – b.

Vậy khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có:

ak – bk = (a – b)(ak – 1 + ak – 2b + ... + abk –2 + bk – 1)

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh:

ak + 1 – bk + 1 = (a – b)[a(k + 1) – 1 + a(k + 1) – 2b + ... + ab(k + 1) –2 + b(k + 1) – 1]

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

ak + 1 – bk + 1

= a . ak – b . bk

= a . ak – a . bk + a . bk – b . bk

= a . (ak – bk) + bk . (a – b)

= a . (a – b)(ak – 1 + ak – 2b + ... + abk –2 + bk – 1) + bk . (a – b)

= (a – b) . a . (ak – 1 + ak – 2b + ... + abk –2 + bk – 1) + (a – b) . bk

= (a – b)(a . ak – 1 + a . ak – 2b + ... + a . abk – 2 + a . bk – 1) + (a – b) . bk

= (a – b)[a1 + (k – 1) + a1 + (k – 2)b + ... + a2bk – 2 + a . bk – 1) + (a – b) . bk

= (a – b)[a(k + 1) – 1 + a(k + 1) – 2b + ... + a2b(k + 1) – 3 + ab(k + 1) –2] + (a – b) . b(k + 1) – 1

= (a – b)[a(k + 1) – 1 + a(k + 1) – 2b + ... + ab(k + 1) –2 + b(k + 1) – 1].

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác: