Bài 2.7 trang 30 Chuyên đề Toán 10

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 2.7 trang 30 Chuyên đề Toán 10 trong Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học. Với lời giải chi tiết nhất hy vọng sẽ giúp học sinh biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 10.

Bài 2.7 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Sừ dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác n cạnh (n ≥ 4) là $\frac{n\left(n-3\right)}{2}.$

Lời giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n với n ≥ 4.

Bước 1. Với n = 4 ta có đa giác là tứ giác.

Số đường chéo của tứ giác là 2 = $\frac{4\left(4-3\right)}{2}$.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 4.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k (k ≥ 4), tức là ta có: Số đường chéo của một đa giác k cạnh (k ≥ 4) là $\frac{k\left(k-3\right)}{2}.$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: Số đường chéo của một đa giác (k + 1) cạnh (k ≥ 4) là $\frac{\left(k+1\right)\left[\left(k+1\right)-3\right]}{2}.$

Thật vậy, xét đa giác (k + 1) cạnh A₁A₂...A_kA_{k + 1}, nối hai đỉnh A₁ và A_k ta được đa giác k cạnh A₁A₂...A_k. Theo giả thiết quy nạp đa giác k cạnh này có $\frac{k\left(k-3\right)}{2}$ đường chéo.

Các đường chéo còn lại của đa giác (k + 1) cạnh ngoài $\frac{k\left(k-3\right)}{2}$ đường chéo này là các đoạn nối A_{k + 1} với các đỉnh từ A₂ đến A_{k – 1} và đoạn A₁A_k (màu đỏ). Tổng cộng có (k – 1) đường.

Vậy tổng số đường chéo của đa giác (k + 1) cạnh là:

$\frac{k\left(k-3\right)}{2}$ + (k – 1) = $\frac{k\left(k-3\right)+2\left(k-1\right)}{2}$

$=\frac{k^2-k-2}{2}=\frac{\left(k+1\right)\left(k-2\right)}{2}=\frac{\left(k+1\right)\left[\left(k+1\right)-3\right]}{2}.$

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 4.