Bài 4 trang 70 Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tỉ lệ phát bóng hỏng của một vận động viên bóng chuyền là 15%. Vận động viên đó thực hiện 40 quả phát bóng một cách độc lập với nhau. Gọi X là số quả phát bóng hỏng trong 40 quả đó.
Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức - Chân trời sáng tạo
Bài 4 trang 70 Chuyên đề Toán 12: Tỉ lệ phát bóng hỏng của một vận động viên bóng chuyền là 15%. Vận động viên đó thực hiện 40 quả phát bóng một cách độc lập với nhau. Gọi X là số quả phát bóng hỏng trong 40 quả đó.
a) Tính kì vọng và phương sai của X.
b) Hỏi xác suất X nhận giá trị bằng bao nhiêu là lớn nhất?
Lời giải:
Gọi T là phép thử “Vận động viên phát ngẫu nhiên một quả bóng”. Theo đề bài, phép thử T được lặp lại 40 lần một cách độc lập. Gọi A là biến cố “Quả bóng bị phát hỏng”. Ta có P(A) = 15% = 0,15.
Do phép thử T được thực hiện 40 lần một cách độc lập với nhau và xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi lần thử đều bằng 0,15 nên X là biến cố ngẫu nhiên rời rạc có phân bố nhị thức B(40; 0,15).
a) Kì vọng của X là: E(X) = np = 40 . 0,15 = 6.
Phương sai của X là: V(X) = np(1 – p) = 40 . 0,15 . (1 – 0,15) = 5,1.
b) Ta có:
P(X=k)=Ck40⋅0,15k⋅(1−0,15)40−k (với k = 0, 1, …, 40)
=Ck40⋅0,15k⋅0,8540−k=Ck40⋅(0,150,85)k⋅0,8540=Ck40⋅(317)k⋅0,8540.
Khi đó: P(X=k+1)=Ck+140⋅(317)k+1⋅0,8540 với k = 0, 1, …, 39.
⦁ Trường hợp 1. Nếu P(X = k) > P(X = k + 1) thì ta có:
⇔ 17k + 17 – 120 + 3k > 0 (do 40 – k > 0)
⇔ 20k > 103
⇔k>10320=5,15
Mà k ∈ {0; 1; …; 40} nên k ∈ {6; 7; …; 50}.
Khi đó P(X = 6) > P(X = 7) > … > P(X = 40).
⦁ Trường hợp 2. Nếu P(X = k) < P(X = k + 1) thì tương tự trường hợp 1, ta có: k < 5,15.
Mà k ∈ {0; 1; …; 39} nên k ∈ {0; 1; ..; 5}.
Khi đó P(X = 0) < P(X = 1) < … < P(X = 5).
⦁ Xét P(X=5)=C540⋅(317)5⋅0,8540≈0,169;
P(X=6)=C640⋅(317)6⋅0,8540≈0,174.
Do đó P(X = 5) < P(X = 6).
Suy ra P(X = 0) < P(X = 1) < … < P(X = 5) < P(X = 6) > P(X = 7) > … > P(X = 40).
Vì vậy, P(X = 6) có giá trị lớn nhất.
Vậy xác suất X nhận giá trị bằng 6 là lớn nhất.
Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Phân bố Bernoulli và phân bố nhị thức hay, chi tiết khác: