HĐ3 trang 29 Chuyên đề Toán 12
Xét bài toán quy hoạch tuyến tính
Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính - Kết nối tri thức
HĐ3 trang 29 Chuyên đề Toán 12: Xét bài toán quy hoạch tuyến tính
F(x; y) = 3x + 4y → min
với các ràng buộc
a) Kiểm tra lại rằng miền S tô màu trong Hình 2.6 là miền chấp nhận được của bài toán.
b) Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả mãn F(x; y) = 3x + 4y = 12.
c) Với mỗi số thực m, xét đường thẳng dm: 3x + 4y = m.
Từ hình vẽ, tìm điều kiện của m để dm ∩ S ≠ ∅.
d) Từ phần c suy ra giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền chấp nhận được. Chứng tỏ rằng, giá trị nhỏ nhất này chính là giá trị của F(x; y) tại một điểm cực biên của miền chấp nhận được.
Lời giải:
a) Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ ràng buộc ta thấy rằng miền S tô màu trong Hình 2.6 là miền chấp nhận được của bài toán.
b) Theo bài, F(x; y) = 3x + 4y = 12.
Vậy tập hợp điểm M(x; y) thỏa mãn yêu cầu đề bài là tập hợp các điểm nằm trên đường thẳng d12: 3x + 4y = 12 nằm trong miền chấp nhận S, chính là tập hợp các điểm nằm trên đoạn thẳng AB (hình vẽ).
b) Đường thẳng dm song song với AB, có phương không đổi, do đó từ hình vẽ, ta thấy đường thẳng dm: 3x + 4y = m luôn cắt trục tung tại điểm có tung độ
Từ hình vẽ, ta thấy rằng để dm ∩ S ≠ ∅ thì tức là m ≥ 10.
Vậy m ≥ 10.
c) Ta có: F(x; y) = 3x + 4y = m, mà theo kết quả của câu b, ta có m ≥ 10 nên F(x; y) ≥ 10.
Vậy giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền S là 10.
Ta có các điểm cực biên của miền S là: (0; 3), (2; 1), (4; 0).
⦁ F(0; 3) = 3.0 + 4.3 = 12;
⦁ F(2; 1) = 3.2 + 4.1 = 10;
⦁ F(4; 0) = 3.4 + 4.0 = 12.
Vậy giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền S chính là giá trị của F(x; y) tại điểm cực biên có tọa độ (2; 1) của miền chấp nhận được.
Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính hay, chi tiết khác: