Thực hành 3 trang 19 Chuyên đề Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tại một xưởng sản xuất, chi phí để sản xuất x sản phẩm mỗi tháng là C(x) = 5 000 + 50x + 0,005x (nghìn đồng).

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu - Chân trời sáng tạo

Thực hành 3 trang 19 Chuyên đề Toán 12: Tại một xưởng sản xuất, chi phí để sản xuất x sản phẩm mỗi tháng là C(x) = 5 000 + 50x + 0,005x² (nghìn đồng).

a) Tính chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm.

b) Mỗi tháng xưởng sản xuất bao nhiêu sản phẩm thì chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm thấp nhất?

Lời giải:

a) Chi phí trung bình (nghìn đồng) để sản xuất một sản phẩm là

$\overline{C}\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}=\frac{5000+50x+\mathrm{0,005}{x}^2}{x}=\frac{5000}{x}+50+\mathrm{0,005}x$ với x > 0.

b) Xét hàm số $\overline{C}\left(x\right)=\frac{5000}{x}+50+\mathrm{0,005}x$ với x ∈ (0; + ∞).

Ta có ${\overline{C}}^{\text{'}}\left(x\right)=\mathrm{0,005}-\frac{5000}{x^2}$;

${\overline{C}}^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \mathrm{0,005}-\frac{5000}{x^2}=0\iff x^2=1000000\iff x=1000\in \left(0;+\infty \right)$.

Ta có $\overline{C}\left(1000\right)=60$.

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta thấy chi phí trung bình thấp nhất là $\overline{C}\left(1000\right)=60$(nghìn đồng/sản phẩm), đạt được khi x = 1 000 sản phẩm.

Vậy mỗi tháng xưởng sản xuất 1 000 sản phẩm thì chi phí trung bình để sản xuất một sản phẩm thấp nhất.

Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm giải bài toán tối ưu hay, chi tiết khác:

• Khởi động trang 15 Chuyên đề Toán 12: Một người đang ở vị trí A muốn đi đến vị trí B trên bờ hồ như hình bên ....

• Khám phá trang 15 Chuyên đề Toán 12: Người ta muốn sản xuất những chiếc thùng có dạng hình hộp chữ nhật không nắp ....

• Thực hành 1 trang 17 Chuyên đề Toán 12: Hai nhà máy được đặt tại các vị trí A và B cách nhau 4 km ....

• Thực hành 2 trang 18 Chuyên đề Toán 12: Mặt cắt ngang của một máng dẫn nước là một hình thang cân có độ dài ....

• Thực hành 4 trang 20 Chuyên đề Toán 12: Cơ sở A chuyên cung cấp một loại sản phẩm nông nghiệp X cho nhà phân phối B ....

• Vận dụng trang 20 Chuyên đề Toán 12: Hiện tại, mỗi tháng một cửa hàng đồ lưu niệm bán được 100 sản phẩm A ....

• Bài 1 trang 20 Chuyên đề Toán 12: Người ta muốn xây một đường cống thoát nước có mặt cắt ngang ....

• Bài 2 trang 20 Chuyên đề Toán 12: Người ta muốn xây một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật, thể tích 1 800 m3 và chiều sâu 2 m ....

• Bài 3 trang 20 Chuyên đề Toán 12: Người ta muốn thiết kế một lồng nuôi cá có bề mặt hình chữ nhật bao gồm phần mặt nước ....

• Bài 4 trang 21 Chuyên đề Toán 12: Một giếng dầu ngoài khơi được đặt ở vị trí A cách bờ biển 3 km ....

• Bài 5 trang 21 Chuyên đề Toán 12: Tại một xí nghiệp, nếu trong một tuần xí nghiệp sản xuất x nghìn sản phẩm ....