Bài 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, 9.6 trang 52 SBT Toán 7 tập 2
Bài 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, 9.6 trang 52 SBT Toán 7 tập 2
Bài 9.2: Cho tam giác ABC không là tam giác cân. Khi đó trực tâm của tam giác ABC là giao điểm của:
(A) Ba đường trung tuyến;
(B) Ba đường phân giác;
(C) Ba đường trung trực;
(D) Ba đường cao.
Hãy chọn phương án đúng.
Lời giải:
Chọn (D) Ba đường cao.
Bài 9.3: Cho tam giác ABC có hai đường cao AH, BK cắt nhau tại điểm M. Hãy tính góc AMB biết ∠A = 55°, ∠B = 67°.
Lời giải:
Để tính góc AMB, ta cần tính ∠A1, ∠B1
Trong tam giác vuông AHB có ∠A1= 90° − ∠(ABH) = 90° − 67° = 23°
Trong tam giác vuông AKB có ∠B1= 90° − ∠(BAK) = 90° − 55° = 35°
Vậy trong tam giác AMB có
∠(AMB) = 180° − (∠A1+ ∠B1) = 180° − (23° + 35°) = 122°.
Bài 9.4: Cho tam giác nhọn ABC cân tại đỉnh A. Hai đường cao xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại M. Hãy tìm các góc của tam giác ABC, biết ∠(BMC) = 140°.
Lời giải:
Xét tam giác vuông BKM. Do ∠(BMC) = 140° nên ∠B1= 140° − 90° = 50°
Trong tam giác vuông AHB có
∠A = 90° − ∠B1 = 90° − 50° = 40°
Tam giác ABC cân tại A, có ∠A = 40° nên ∠B = ∠C = (180° − 40°) : 2 = 70°.
Bài 9.5: Chứng minh rằng trong một tam giác, tia phân giác của một góc trong và hai tia phân giác của hai góc ngoài không kề với nó đồng quy tại một điểm, điểm đó cách đều ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác.
Lời giải:
Giả sử hai tia phân giác của các góc ngoài tại đỉnh B và C của tam giác ABC cắt nhau tại O. Ta sẽ chứng minh AO là tia phân giác của góc A.
Kẻ các đường vuông góc OH, OI, OK từ O lần lượt đến các đường thẳng AB, BC, AC.
Vì BO là tia phân giác của góc HBC nên OH = OI (1)
Vì CO là tia phân giác của góc KCB nên OI = OK (2)
Từ (1) và (2) suy ra OI = OH = OK (3)
Từ (3) suy ra AO là tia phân giác của góc BAC và ta có điều phải chứng minh.
Bài 9.6: Cho tam giác ABC, Hai đường phân giác của các cặp góc ngoài đỉnh B và C, đỉnh C và A, đỉnh A và B lần lượt cắt nhau tại A', B', C'. Chứng minh rằng AA', BB', CC' là các đường cao của tam giác A'B'C'. Từ đó suy ra giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC là trực tâm của tam giác A'B'C'.
Lời giải:
Ta có AA′ ⊥ AB′ vì chúng là hai tia phân giác của hai góc kề bù. Tương tự AA′ ⊥ AC′. Vì qua A chỉ có một đường vuông góc với AA' nên ba điểm B', A, C' thẳng hàng và AA′ ⊥ B′C′, hay A'A là một đường cao của tam giác A'B'C'. Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được BB' và CC' là hai đường cao của tam giác A'B'C'.
Mặt khác theo cách chứng minh của bài 9.5 ta có AA', BB', CC' là ba tia phân giác của các góc A, B, C của tam giác ABC. Từ đó suy ra giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC là trực tâm của tam giác A'B'C'.
