Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y=-x^3+3x^2-1

Bài 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 41 trang 44 sgk Giải Tích 12 nâng cao được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp bạn biết cách làm bài tập môn Toán 12.

Bài 41 (trang 44 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y=-x³+3x²-1

b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phương trình -x³+3x²-1=m

Lời giải:

a) y=-x³+3x²-1. Tập xác định D = R

y'=-3x²+6x

- Hàm số đồng biến trên khoảng (0;2)

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;0)và (2; +∞)

y_CĐ=y(2)=3; y_CT=y(0)=-1

y''=-6x+6;y''=0 => x = 1

- Hàm số lồi trên khoảng (-∞;1) lõm trên khoảng (1;+∞)

- Hàm số có một điểm uốn I(1; 1)

Bảng biến thiên:

Đồ thị đi qua (0; -1)

b) -x³+3x²-1=m (*)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị y=-x³+3x²-1 với đường thẳng y = m.

Dựa vào đồ thị ở câu a) ta có:

- Nếu m > 3: Phương trình (*) có 1 nghiệm

- Nếu m = 3: Phương trình (*) có 2 nghiệm.

- Nếu -1 < m < 3 : Phương trình (*) có 3 nghiệm

- Nếu m = -1: Phương trình (*) có 2 nghiệm.

- Nếu m < -1 phương trình (*) có 1 nghiệm.

Kết luận: