Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau: y=-x^4+2x^2-2

Bài 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm đa thức

Haylamdo biên soạn và sưu tầm lời giải Bài 43 trang 44 sgk Giải Tích 12 nâng cao được biên soạn lời giải chi tiết sẽ giúp bạn biết cách làm bài tập môn Toán 12.

Bài 43 (trang 44 sgk Giải Tích 12 nâng cao):

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số sau: y=-x⁴+2x²-2

b) Tùy theo các giá trị của m hãy biện luận số nghiệm của phương trình -x⁴+2x²-2=m

c) Viết Phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn của đồ thị.

Lời giải:

a) TXĐ: R

* y'=-4x³+4x=4x(-x²+1)=0

y'>0 trên khoảng (-∞; -1)và (0;1)

y'<0 trên khoảng (-1;0) và (1; +∞)

y_CT = y(0)=-2; y_CĐ = y(-1)=y(1)=-1

lim_x→-∞⁡y = -∞; lim_x→+∞⁡y = -∞

- y''=-12x²+4=4(-3x²+1)=0

Bảng xét dấu y’’

Bảng biến thiên.

• Đồ thị

Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng giao với Oy (0; -2)

b) Số nghiệm của Phương trình -x⁴+2x²-2=m (1) là giao điểm của đồ thị y=-x⁴+2x²-2 với đường thẳng y = m.

Nếu m > -1 thì Phương trình (1) vô nghiệm.

Nếu m = 1 thì Phương trình (1) có 2 nghiệm.

Nếu -2 < m < -1: Phương trình có 4 nghiệm.

Nếu m = -2 phương trình (1) có 3 nghiệm

Nếu m < -2: Phương trình (1) có 2 nghiệm

Kết luận:

m > -1: Phương trình (1) vô nghiệm.

Phương trình (1) có 2 nghiệm.

m=−2: Phương trình (1) có 3 nghiệm.

-2 < m < -1 phương trình (1) có 4 nghiệm.

c) Hàm số y=-x⁴+2x²-2 có 2 điểm uốn đó là:

Phương trình tiếp tuyến uốn

Phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn

Vậy đồ thị hàm số đã cho có 2 tiếp tuyến: