Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trang 46 sgk Giải tích 12
Toán lớp 12 Bài ôn tập chương I
Bài 9 (trang 46 SGK Giải tích 12): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số:
b) Viết phương tình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f"(x) = 0.
c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình: x4 - 6x2 + 3 = m.
Lời giải:
a) Khảo sát hàm số
- TXĐ: D = R
- Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên:
f'(x) = 2x3 - 6x = 2x(x2 - 3)
f'(x) = 0 ⇔ 2x(x2 - 3) = 0 ⇔ x = 0; x = ±√3
+ Giới hạn tại vô cực:
+ Bảng biến thiên:
Kết luận: Hàm số đồng biến trên (-√3; 0) và (√3; +∞).
Hàm số nghịch biến trên (-∞; -√3) và (0; √3).
Hàm số đạt cực đại tại x = 0, yCĐ =
Hàm số đạt cực tiểu tại x = ; yCT = -3.
- Đồ thị:
+ Đồ thị hàm số nhận trục tung là trục đối xứng.
+ Đồ thị cắt trục tung tại (0; 1,5).
b) Ta có: f"(x) = 6x2 - 6 = 6(x2 - 1)
f"(x) = 0 ⇔ 6(x2 - 1) ⇔ x = ±1 ⇒ y = -1
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (-1; -1) là:
y = f'(-1)(x + 1) - 1 ⇒ y = 4x + 3
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại (1; -1) là:
y = f'(1)(x - 1) - 1 ⇒ y = -4x + 3
c) Ta có: x4 - 6x2 + 3 = m
Số nghiệm của phương trình (*) chính bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (d) y = m/2.
Từ đồ thị (C) nhận thấy :
+ m/2 < - 3 ⇔ m < -6
⇒ đường thẳng (d) không cắt đồ thị (C)
⇒ Phương trình vô nghiệm.
+ m/2 = -3 ⇔ m = -6
⇒ đường thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm cực tiểu
⇒ Phương trình có 2 nghiệm.
+ -3 < m/2 < 3/2 ⇔ -6 < m < 3
⇒ đường thẳng (d) cắt (C) tại 4 điểm phân biệt
⇒ Phương trình có 4 nghiệm.
+ m/2 = 3/2 ⇔ m = 3
⇒ đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm
⇒ phương trình có 3 nghiệm.
+ m/2 > 3/2 ⇔ m > 3
⇒ đường thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm
⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Vậy:
+) m < - 6 thì phương trình vô nghiệm.
+) m = - 6 hoặc m > 3 thì PT có 2 nghiệm.
+) m = 3 thì PT có 3 nghiệm.
+) – 6 < m < 3 thì PT có 4 nghiệm.