Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 0) và B(0; 3). Tìm tập hợp các điểm M

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 0) và B(0; 3). Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn MA = 2MB.

Giải sách bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 7

Bài 84 trang 99 SBT Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 0) và B(0; 3). Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn MA = 2MB.

Lời giải:

Gọi M(x; y). Ta có MA=|$\stackrel{\rightharpoonup }{AM}$|=$\sqrt{{\left(x-1\right)}^2+y^2}$; MB=|$\stackrel{\rightharpoonup }{BM}$|=$\sqrt{x^2+{\left(y-3\right)}^2}$

Do MA = 2MB nên $\sqrt{{\left(x-1\right)}^2+y^2}=2.\sqrt{x^2+{\left(y-3\right)}^2}$

⇔ (x – 1)² + y² = 4[x² + (y – 3)²]

⇔ x² – 2x + 1 + y² = 4x² + 4y² – 24y + 36

⇔ 3x² + 2x + 3y² – 24y + 35 = 0

⇔ x² + $\frac{2}{3}$x + y² – 8y + $\frac{35}{3}$ = 0

⇔ x² + 2.$\frac{1}{3}$.x + ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2$ + y² – 2.4.y + 4² + $\frac{35}{3}$ = 0

⇔ ${\left(x+\frac{1}{3}\right)}^2$+ y² – 2.4.y + 4² + $\frac{35}{3}$ = 0

$\iff$${\left(x+\frac{1}{3}\right)}^2$+(y-4)² = $\frac{40}{9}$

Phương trình trên là phương trình đường tròn.

Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I$\left(-\frac{1}{3};4\right)$ bán kính R=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$.