Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 3.13 trang 39 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1:

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) $\cot A+\cot B+\cot C=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S};$

b) $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right).$

Lời giải:

a) Áp dụng định lí côsin ta có:

cosA = $\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ (1)

Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta có:

$S=\frac{1}{2}bc.\sin A$

$\Rightarrow \sin A=\frac{2S}{bc}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có:

cotA = $\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\frac{2S}{bc}$

$\Rightarrow \cot A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.\frac{bc}{2S}$

$\Rightarrow \cot A=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}.$

Chứng minh tương tự ta cũng có:

$\cot B=\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}$ và $\cot C=\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}$

Do đó cotA + cotB + cotC

$=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}+\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}$

$=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}$

Vậy $\cot A+\cot B+\cot C=\frac{a^2+b^2+c^2}{4S}.$

b) Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến ta có:

$m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4};$ $m_b^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}$ và $m_c^2=\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}.$

Do đó:

$m_a^2+m_b^2+m_c^2$

$=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}+\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{a^2+b^2}{2}-\frac{c^2}{4}$

$=\frac{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2}-\frac{a^2+b^2+c^2}{4}$

$=\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{1}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)$

$=\frac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right).$

Vậy $m_a^2+m_b^2+m_c^2=\frac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right).$