Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn trang 39 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1

Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 3.15 trang 39 sách bài tập Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn $\frac{\sin A}{1}=\frac{\sin B}{2}=\frac{\sin C}{\sqrt{3}}.$ Tính số đo các góc của tam giác.

Lời giải:

Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$

$\Rightarrow \sin A=\frac{a}{2R};\sin B=\frac{b}{2R};\sin C=\frac{c}{2R}.$

Theo bài ta có: $\frac{\sin A}{1}=\frac{\sin B}{2}=\frac{\sin C}{\sqrt{3}}.$

$\Rightarrow \frac{\frac{a}{2R}}{1}=\frac{\frac{b}{2R}}{2}=\frac{\frac{c}{2R}}{\sqrt{3}}$$\Rightarrow \frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{\sqrt{3}}$

Đặt $\frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{\sqrt{3}}=t$

Suy ra a = t; b = 2t; c = t$\sqrt{3}.$

Suy ra a² = t²; b = 4t²; c = 3t².

Ta thấy: a² + c² = b² = 4t²

Theo định lí Pythagore đảo ta có tam giác ABC vuông tại B.

$\Rightarrow$ sinB = 1.

$\Rightarrow \frac{\sin A}{1}=\frac{1}{2}=\frac{\sin C}{\sqrt{3}}.$

$\Rightarrow \sin A=\frac{1}{2}$ và $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow$$\hat{A}=30°$ và $\hat{C}=60°.$

Vậy $\hat{A}=30°;\hat{B}=90°$ và $\hat{C}=60°.$