Có bao nhiêu dãy kí tự gồm 4 chữ cái (có thể là vô nghĩa) được tạo thành

Sách bài tập Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 8

Bài 8.35 trang 60 Sách bài tập Toán lớp 10 Tập 2:

a) Có bao nhiêu dãy kí tự gồm 4 chữ cái (có thể là vô nghĩa) được tạo thành bằng cách sắp xếp các chữ cái của từ “NGHI”?

b) Có bao nhiêu dãy kí tự gồm 6 chữ cái (có thể là vô nghĩa) được tạo thành bằng cách sắp xếp các chữ cái của từ “NGHIÊN”?

c) Có bao nhiêu dãy kí tự gồm 7 chữ cái (có thể là vô nghĩa) được tạo thành bằng cách sắp xếp các chữ cái của từ “NGHIÊNG”?

Lời giải:

a)

Từ “NGHI” có 4 chữ cái khác nhau là "N, G, H, I". Số cách sắp xếp chúng theo yêu cầu bằng số các hoán vị của 4 chữ cái, bằng: 4 . 3 . 2 . 1 = 24 (dãy).

b)

Từ “NGHIÊN” có 6 chữ cái, trong đó có 2 chữ cái giống nhau là “N, N”.

Việc xếp các chữ cái “N, G, H, I, Ê, N” của từ “NGHIÊN” theo yêu cầu giống như việc bỏ các chữ cái “N,G, H, I, Ê, N” vào 6 hộp, mỗi hộp có 1 chữ cái:

Việc bỏ các chữ cái “N, G, H, I, Ê, N” vào 6 chiếc hộp có thể thực hiện qua 2 công đoạn.

– Công đoạn 1: chọn 2 chiếc hộp trong 6 chiếc hộp rồi bỏ 2 chữ cái N, N vào 2 chiếc hộp đó;

– Công đoạn 2: bỏ các chữ cái G, H, I, Ê vào 4 chiếc hộp còn lại;

Số cách thực hiện công đoạn 1 bằng số các cách chọn 2 hộp từ 6 hộp, do đó bằng:

$C_6^2=\frac{6!}{2!(6-2)!}=15$ (cách)

Số cách thực hiện công đoạn 2 bằng số các hoán vị của 4 chữ cái, do đó bằng:

4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 (cách) .

Như vậy, theo quy tắc nhân thì số dãy kí tự được tạo thành là: 15 . 24 = 360 (dãy).

c)

Từ “NGHIÊNG” có 7 chữ cái: “N, G, H, I, Ê, N, G”, trong đó có các chữ cái giống nhau là “N, N” và “G, G”.

Việc xếp các chữ cái “N,G, H, I, Ê, N, G” của từ “NGHIÊNG” thành một dãy kí tự có 7 chữ cái giống như việc bỏ các chữ cái “N,G, H, I, Ê, N, G” vào 7 hộp (có thứ tự).

Việc bỏ các chữ cái “N, G, H, I, Ê, N, G” vào 7 cái hộp có thể thực hiện qua 2 công đoạn.

– Công đoạn 1: chọn 2 cái hộp trong 7 cái hộp rồi bỏ các chữ cái N, N vào 2 chiếc hộp đó;

– Công đoạn 2: chọn 2 cái hộp trong 5 cái hộp còn lại rồi bỏ các chữ cái G, G vào 2 chiếc hộp đó;

– Công đoạn 3: bỏ các chữ cái H, I, Ê vào 3 chiếc hộp còn lại.

Số cách thực hiện công đoạn 1 bằng số cách chọn 2 hộp từ 7 hộp, nghĩa là bằng:

$C_7^2=\frac{7!}{2!(7-2)!}=21$ (cách).

Số cách thực hiện công đoạn 2 bằng số cách chọn 2 hộp từ 5 hộp, nghĩa là bằng:

$C_5^2=\frac{5!}{2!(5-2)!}=10$ (cách).

Số cách thực hiện công đoạn 3 bằng số các hoán vị của 3, nghĩa là bằng:

3! = 3 . 2 . 1 = 6 (cách).

Như vậy, theo quy tắc nhân thì số dãy kí tự được tạo thành là:

21 . 10 . 6 = 1 260 (dãy).