Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm của ba tam giác SAB, SBC, SCA
Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm của ba tam giác SAB, SBC, SCA. Chứng minh rằng SA ⊥ (MNP).
Giải sách bài tập Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài 20 trang 95 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Gọi M, N, P lần lượt là trọng tâm của ba tam giác SAB, SBC, SCA. Chứng minh rằng SA ⊥ (MNP).
Lời giải:
Gọi H, K, I lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA.
Vì M, N, P lần lượt là trọng tâm của ba tam giác SAB, SBC, SCA nên ta có:
.
Theo định lý Thalès: MN // HK, MP // HI.
Mà HK ⊂ (ABC), IH ⊂ (ABC).
Suy ra: MN // (ABC), MP // (ABC).
Trong (MNP) có: MN ∩ MP = M, MN // (ABC), MP // (ABC).
Suy ra (MNP) // (ABC).
Lại có SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ (MNP).
Lời giải SBT Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hay khác: