Cho dãy số (un) biết u1 = – 2 trang 51 SBT Toán 11

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng

Bài 27 trang 51 SBT Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) biết u₁ = – 2, $u_{n + 1} = \frac{u_{n}}{1 - u_{n}}$ với n ∈ ℕ^*. Đặt $v_{n} = \frac{u_{n} + 1}{u_{n}}$ với n ∈ ℕ^*.

a) Chứng minh rằng dãy số (v_n) là một cấp số cộng. Tìm số hạng đầu, công sai của cấp số cộng đó.

b) Tìm công thức của v_n, u_n tính theo n.

c) Tính tổng $S = \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{u_{2}} + \frac{1}{u_{3}} + ... + \frac{1}{u_{20}}$ .

Lời giải:

a) Ta có $v_{n} = \frac{u_{n} + 1}{u_{n}} = 1 + \frac{1}{u_{n}}$ , $v_{n + 1} = 1 + \frac{1}{u_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{\frac{u_{n}}{1 - u_{n}}} = 1 + \frac{1 - u_{n}}{u_{n}} = \frac{1}{u_{n}}$ .

Khi đó, $v_{n + 1} - v_{n} = \frac{1}{u_{n}} - (1 + \frac{1}{u_{n}}) = - 1$ không đổi với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (v_n) là một cấp số cộng có số hạng đầu là $v_{1} = 1 + \frac{1}{u_{1}} = 1 + \frac{1}{- 2} = \frac{1}{2}$ và công sai d = – 1.

b) Ta có $v_{n} = v_{1} + (n - 1) d = \frac{1}{2} + (n - 1) . (- 1) = \frac{1}{2} - n + 1 = \frac{3}{2} - n$ .

Vì $v_{n} = 1 + \frac{1}{u_{n}}$ nên $1 + \frac{1}{u_{n}} = \frac{3}{2} - n$ $\Leftrightarrow \frac{1}{u_{n}} = \frac{1}{2} - n$ $\Leftrightarrow u_{n} = \frac{2}{1 - 2 n}$ .

Vậy $v_{n} = \frac{3}{2} - n$ và $u_{n} = \frac{2}{1 - 2 n}$ .

c) Từ $v_{n} = 1 + \frac{1}{u_{n}}$ , suy ra $\frac{1}{u_{n}} = v_{n} - 1$ .

Khi đó ta có $S = \frac{1}{u_{1}} + \frac{1}{u_{2}} + \frac{1}{u_{3}} + ... + \frac{1}{u_{20}}$

= (v₁ – 1) + (v₂ – 1) + (v₃ – 1) + ... + (v₂₀ – 1)

= (v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₂₀) – 20.

Mà v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₂₀ là tổng 20 số hạng đầu của cấp số cộng (v_n) nên

v₁ + v₂ + v₃ + ... + v₂₀ = Cho dãy số (un) biết u1 = – 2 trang 51 SBT Toán 11 .

Do đó, S = – 180 – 20 = – 200.

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 11 Bài 2: Cấp số cộng Cánh diều hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯