Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào là cấp số cộng?

Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát u sau, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng - Chân trời sáng tạo

Bài 2 trang 60 SBT Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau, dãy số nào là cấp số cộng? Tìm số hạng đầu và công sai của nó.

a) u_n = 3n + 1;

b) u_n = 4 ‒ 5n;

c) $u_{n} = \frac{2 n + 3}{5};$

d) $u_{n} = \frac{n + 1}{n};$

e) $u_{n} = \frac{n}{2^{n}};$

g) u_n = n² + 1.

Lời giải:

a) Ta có: u₁ = 3.1 + 1 = 4; u_n = 3n + 1; và u_n₊₁ = 3(n + 1) + 1 = 3n + 4.

Do đó u_n+1 – u_n = 3n + 4 – (3n + 1) = 3.

Vậy u_n = 3n + 1 là cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 4 và công sai d = 3.

b) Ta có: u₁ = 4 ‒ 5.1 = ‒1; u_n = 4 ‒ 5n và u_n+1 = 4 – 5(n + 1) = −1 – 5n.

Do đó u_n+1 – u_n = −1 – 5n – (4 ‒ 5n) = −5.

Vậy u_n = 4 ‒ 5n là cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = ‒1 và công sai d = ‒5.

c) Ta có $u_{1} = \frac{2 \cdot 1 + 3}{5} = 1;$ $u_{n} = \frac{2 n + 3}{5}$ và $u_{n + 1} = \frac{2 (n + 1) + 3}{5} = \frac{2 n + 5}{5}$

Do đó $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 n + 5}{5} - \frac{2 n + 3}{5} = \frac{2}{5}$

Vậy $u_{n} = \frac{2 n + 3}{5}$ là cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 1 và công sai $d = \frac{2}{5} .$

d) Xét $u_{n} = \frac{n + 1}{n}$ có: $u_{1} = \frac{1 + 1}{1} = 2;$ $u_{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2};$ $u_{3} = \frac{3 + 1}{3} = \frac{4}{3};$

Ta thấy: u₂ ‒ u₁ ≠ u₃ ‒ u₂

Vậy $u_{n} = \frac{n + 1}{n}$ không phải là cấp số cộng.

e) Xét $u_{n} = \frac{n}{2^{n}}$ có: $u_{1} = \frac{1}{2^{1}} = \frac{1}{2}; u_{2} = \frac{2}{2^{2}} = \frac{1}{2}; u_{3} = \frac{3}{2^{3}} = \frac{1}{8};$

Ta thấy: u₂ ‒ u₁ ≠ u₃ ‒ u₂

Vậy $u_{n} = \frac{n}{2^{n}}$ không phải là cấp số cộng.

g) Xét u_n = n² + 1 có u₁ = 1² + 1 = 2; u₂ = 2² + 1 = 5; u₃ = 3² + 1 = 10.

Ta thấy: u₂ ‒ u₁ ≠ u₃ ‒ u₂

Vậy u_n = n² + 1 không phải là cấp số cộng.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯