Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un) cho bởi số hạng tổng quát un sau

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u) cho bởi số hạng tổng quát u sau:

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 58 SBT Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau:

a) $u_{n} = \frac{2 n - 13}{3 n - 2};$

b) $u_{n} = \frac{n^{2} + 3 n + 1}{n + 1};$

c) $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{1 + n + n^{2}}} .$

Lời giải:

a) Số hạng tổng quát của (u_n) là $u_{n} = \frac{2 n - 13}{3 n - 2}$ nên $u_{n + 1} = \frac{2 (n + 1) - 13}{3 (n + 1) - 2} = \frac{2 n - 11}{3 n + 1}$

Xét $u_{n + 1} - u_{n} = \frac{2 n - 11}{3 n + 1} - \frac{2 n - 13}{3 n - 2}$

$= \frac{(2 n - 11) (3 n - 2) - (2 n - 13) (3 n + 1)}{(3 n + 1) (3 n - 2)}$

$= \frac{6 n^{2} - 37 n + 22 - (6 n^{2} - 37 n - 13)}{(3 n + 1) (3 n - 2)}$

$= \frac{35}{(3 n + 1) (3 n - 2)} > 0, \forall n \in ℕ^{*} .$

Suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^*. Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Mặt khác, ta có: $u_{n} = \frac{2 n - 13}{3 n - 2} = \frac{\frac{2}{3} (3 n - 2) - \frac{35}{3}}{3 n - 2} = \frac{2}{3} - \frac{35}{3 (3 n - 2)}$

⦁ Do $n \geq 1 \Rightarrow 3 n - 2 \geq 1 \Rightarrow \frac{35}{3 (3 n - 2)} \leq \frac{35}{3} \Rightarrow \frac{2}{3} - \frac{35}{3 (3 n - 2)} \geq \frac{2}{3} - \frac{35}{3} = - 11$

⦁ Do $n \geq 1 \Rightarrow 3 n - 2 \geq 1 > 0 \Rightarrow \frac{35}{3 (3 n - 2)} > 0 \Rightarrow \frac{2}{3} - \frac{35}{3 (3 n - 2)} < \frac{2}{3}$

Suy ra $- 11 \leq u_{n} < \frac{2}{3}, \forall n \in ℕ^{*}$ , suy ra (u_n) là dãy số bị chặn.

b) Số hạng tổng quát của (u_n) là $u_{n} = \frac{n^{2} + 3 n + 1}{n + 1}$

Nên $u_{n + 1} = \frac{{(n + 1)}^{2} + 3 (n + 1) + 1}{(n + 1) + 1} = \frac{n^{2} + 5 n + 5}{n + 2}$

$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n^{2} + 5 n + 5}{n + 2} - \frac{n^{2} + 3 n + 1}{n + 1}$

$= \frac{(n^{2} + 5 n + 5) (n + 1) - (n^{2} + 3 n + 1) (n + 2)}{(n + 1) (n + 2)}$

$= \frac{n^{3} + n^{2} + 5 n^{2} + 5 n + 5 n + 5 - (n^{3} + 2 n^{2} + 3 n^{2} + 6 n + n + 2)}{(n + 1) (n + 2)}$

$= \frac{n^{2} + 3 n + 3}{(n + 1) (n + 2)} > 0, \forall n \in ℕ *$

Suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^*. Suy ra (u_n) là dãy số tăng.

Mặt khác, ta có $u_{n} > \frac{n^{2} + 2 n + 1}{n + 1} = n + 1 \geq 2, \forall n \in ℕ^{*}$ . Suy ra (u_n) là dãy số bị chặn dưới.

c) Số hạng tổng quát của (u_n) là $u_{n} = \frac{1}{\sqrt{1 + n + n^{2}}}$

Nên $u_{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + (n + 1) + {(n + 1)}^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 3 n + 3}}$

Ta có u_n > 0, ∀n ∈ ℕ^* nên $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{n^{2} + 3 n + 3}}}{\frac{1}{\sqrt{n^{2} + n + 1}}} = \sqrt{\frac{n^{2} + n + 1}{n^{2} + 3 n + 3}} < 1, \forall n \in ℕ^{*} .$

Suy ra u_n+1 < u_n, ∀n ∈ ℕ^*. Suy ra (u_n) là dãy số giảm.

Mặt khác, ta có $n \geq 1; n^{2} \geq 1 \Rightarrow 1 + n + n^{2} \geq 3 \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{1 + n + n^{2}}} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}$ $0 < u_{n} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}, \forall n \in ℕ^{*}$ . Suy ra (u_n) là dãy số bị chặn.

Lời giải SBT Toán 11 Bài 1: Dãy số hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯