Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và góc AOB = 90 độ

Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và ; ; . Tính theo a thể tích khối tứ diện OABC.

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 27: Thể tích - Kết nối tri thức

Bài 7.36 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và $\hat{A O B} = 90 °$ ; $\hat{B O C} = 60 °$ ; $\hat{C O A} = 120 °$ . Tính theo a thể tích khối tứ diện OABC.

Lời giải:

Xét tam giác OAB vuông tại O, có AB = $\sqrt{O A^{2} + O B^{2}}$ $= \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Xét tam giác BOC có OB = OC và $\hat{B O C} = 60 °$ nên tam giác BOC là tam giác đều.

Do đó BC = a.

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác OAC có:

$A C^{2} = O A^{2} + O C^{2}$ -2.OA.OC.cos $\hat{A O C}$

= a²+a²+2.a². $\frac{1}{2}$ = 3a² $\Rightarrow A C^{2} = 3 a^{2}$ $\Rightarrow A C = a \sqrt{3}$

Có $A B^{2} + B C^{2} = 2 a^{2} + a^{2} = 3 a^{2}$ . Do đó AC² = AB²+ BC².

Vì AC² = AB²+ BC² nên tam giác ABC vuông tại B.

Do đó $S_{A B C} = \frac{A B \cdot B C}{2} = \frac{a \sqrt{2} \cdot a}{2} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$ .

Kẻ OH $⊥$ (ABC) tại H.

Vì OA = OB = OC nên HA = HB = HC.

Khi đó, H là trung điểm của AC nên AH = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Xét tam giác OAH vuông tại H, có OH = $\sqrt{O A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{3 a^{2}}{4}} = \frac{a}{2}$ .

Vậy $V_{O A B C} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot O H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài 27: Thể tích hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯