Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC), SA = a

❮ Bài trước Bài sau ❯

Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC), SA = a và đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a. Kẻ AM vuông góc với SB tại M, AN vuông góc với SC tại N. Tính theo a thể tích khối chóp S.AMN.

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 27: Thể tích - Kết nối tri thức

Bài 7.38 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA $⊥$ (ABC), SA = a và đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a $\sqrt{3}$ . Kẻ AM vuông góc với SB tại M, AN vuông góc với SC tại N. Tính theo a thể tích khối chóp S.AMN.

Lời giải:

Hướng dẫn. Ta chứng minh được công thức tỉ số khoảng cách sau:

Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C' khác với S.

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC), SA = a

Khi đó ta có: $\frac{V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A^{'}}{S A} \cdot \frac{S B^{'}}{S B} \cdot \frac{S C^{'}}{S C}$ .

Áp dụng công thức trên với bài tập 7.38, ta có $\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A}{S A} \cdot \frac{S M}{S B} \cdot \frac{S N}{S C} = \frac{S M}{S B} \cdot \frac{S N}{S C}$ .

Trình bày lời giải

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC), SA = a

Ta có $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot S A$ $= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C \cdot S A$ $= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot a \sqrt{3} \cdot a \cdot a = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ .

Vì SA $⊥$ (ABC) nên SA $⊥$ AB hay tam giác SAB vuông tại A mà SA = AB = a nên tam giác SAB vuông cân tại A.

Vì tam giác SAB vuông cân tại A, AM là đường cao nên AM đồng thời là trung tuyến, suy ra M là trung điểm SB. Do đó $\frac{S M}{S B} = \frac{1}{2}$ .

Vì SA $⊥$ (ABC) nên SA $⊥$ AC hay tam giác SAC vuông tại A

Vì tam giác SAC vuông tại A nên $S C = \sqrt{S A^{2} + A C^{2}} = \sqrt{a^{2} + 3 a^{2}} = 2 a$ .

Xét tam giác SAC vuông tại A, đường cao AN có $\frac{S N}{S C} = \frac{S N \cdot S C}{S C^{2}} = \frac{S A^{2}}{S C^{2}} = \frac{1}{4}$ .

Do đó $\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S B} \cdot \frac{S N}{S C} = \frac{1}{8}$ $\Rightarrow V_{S . A M N} = \frac{1}{8} \cdot V_{S . A B C}$ $\Rightarrow V_{S . A M N} = \frac{1}{8} \cdot \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{48}$ .

Vậy $V_{S . A M N} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{48}$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài 27: Thể tích hay khác:

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

❮ Bài trước Bài sau ❯