Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau trang 25 SBT Toán 12 Tập 1

---

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

Giải sách bài tập Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - Kết nối tri thức

Bài 1.33 trang 25 SBT Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{x^2-4x+8}{x-2};$

b) $y=\frac{2x^2+3x-5}{x+1}.$

Lời giải:

a) $y=\frac{x^2-4x+8}{x-2}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{2}.

2. Sự biến thiên

Ta có: y = x – 2 + $\frac{4}{x-2}$ .

Giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=-\infty ;$$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=+\infty$.

Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x^2-4x+8}{x-2}=+\infty$; $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{x^2-4x+8}{x-2}=-\infty$ .

Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }\left(y-(x-2)\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[x–2+\frac{4}{x-2}-(x-2)\right] \\ =\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4}{x-2}=0. \end{gathered}$$

Do đó, đường thẳng y = x – 2 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: y' = $\frac{x^2-4x}{{\left(x-2\right)}^2}$

           y' = 0 ⇔ $\frac{x^2-4x}{{\left(x-2\right)}^2}$ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4.

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (4; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 2) và (2; 4).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = −4.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 và y_CT = 4.

3. Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −4).

Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm (2; 0).

Hai trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

Đồ thị hàm số như sau:

b) $y=\frac{2x^2+3x-5}{x+1}$

1. Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

2. Sự biến thiên

Ta có: y = 2x + 1 − $\frac{6}{x+1}$ .

Giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=-\infty ;$ $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=+\infty$ .

Do đó, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{2x^2+3x-5}{x+1}=-\infty$; $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to -1^{-}}{\lim }\frac{2x^2+3x-5}{x+1}=+\infty$ .

Do đó, đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-(2x+1)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[2x+1-\frac{6}{x+1}-(2x+1)\right] \\ =\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-6}{x+1}=0. \end{gathered}$$

Do đó, đường thẳng y = 2x + 1 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: y' = $\frac{2x^2+4x+8}{{\left(x+1\right)}^2}$ =  $\frac{2{\left(x+1\right)}^2+6}{{\left(x+1\right)}^2}$> 0, với mọi x ≠ −1.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).

Hàm số không có cực trị.

3. Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −5).

Đồ thị hàm số cách trục hoành tại điểm $\left(-\frac{5}{2};0\right)$  và (1; 0).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (−1; −1).

Hai trục đối xứng của đồ thị là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

Đồ thị hàm số như sau:

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số hay khác:

• Bài 1.31 trang 25 SBT Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: ....

• Bài 1.32 trang 25 SBT Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: ....

• Bài 1.34 trang 25 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) xác định trên ℝ và f'(x) có đồ thị như hình vẽ sau: ....

• Bài 1.35 trang 25 SBT Toán 12 Tập 1: Gia tốc a(t) của một vật chuyển động, t tính theo giây, từ giây thứ nhất đến giây thứ 5 ....

• Bài 1.36 trang 26 SBT Toán 12 Tập 1: Một mẫu giấy in hình chữ nhật được thiết kế với vùng in có diện tích 300 cm2, lề trái và lề phải là 2 cm ....

• Bài 1.37 trang 26 SBT Toán 12 Tập 1: Giả sử chi phí để sản xuất x sản phẩm của một nhà máy được cho bởi C(x) = 0,2x² + 10x + 5(triệu đồng) ....

• Bài 1.38 trang 26 SBT Toán 12 Tập 1: Cho điểm A(3;2 ) trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua A cắt trục hoành tại B ....

• Bài 1.39 trang 26 SBT Toán 12 Tập 1: Một quần thể cá được nuôi trong một hồ nhân tạo lúc ban đầu có 80 000 con ....

• Bài 1.40 trang 27 SBT Toán 12 Tập 1: Một khối bưu kiện hình hộp chữ nhật được quy định về kích cỡ như sau: tổng chiều dài ....