Cho điểm A(3;2 ) trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua A cắt trục hoành tại B

---

Cho điểm A(3;2 ) trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua A cắt trục hoành tại B, cắt trục tung tại C tạo thành một tam giác OBC nằm trong góc phần tư thứ nhấ, với O là gốc tọa độ.

Giải sách bài tập Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - Kết nối tri thức

Bài 1.38 trang 26 SBT Toán 12 Tập 1: Cho điểm A(3;2 ) trên mặt phẳng tọa độ. Một đường thẳng đi qua A cắt trục hoành tại B, cắt trục tung tại C tạo thành một tam giác OBC nằm trong góc phần tư thứ nhấ, với O là gốc tọa độ.

a) Biết hoành độ điểm B là x = t với t > 3. Tính diện tích tam giác OBC theo t. Kí hiệu diện tích này là S(t).

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số S(t).

c) Tìm vị trí điểm B để diện tích tam giác OBC là nhỏ nhất.

Lời giải:

a) Ta có: B(t; 0).

Suy ra $\overrightarrow{AB}$= (t – 3; −2).

Phương trình đường thẳng AB là: $\frac{x-3}{t-3}=\frac{y-2}{-2}$  hay y = 2 − $\frac{2}{t-3}\left(x-3\right)$ .

Suy ra điểm C có tung độ y_C = 2 +$\frac{6}{t-3}$ .

Vậy C $\left(0;2+\frac{6}{t-3}\right)$.

Ta có: OB =$\sqrt{{\left(t-0\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}$  = t

           OC = $\sqrt{{\left(0-0\right)}^2+{\left(2+\frac{6}{t-3}-0\right)}^2}=\frac{2t}{t-3}$ .

Diện tích tam giác OBC là S(t) = $\frac{1}{2}$ .OB.OC = $\frac{1}{2}$ .t.$\frac{2t}{t-3}$  = $\frac{t^2}{t-3}$ .

b) Khảo sát sự biến thiên của hàm số S(t) = $\frac{t^2}{t-3}$ .

1. Tập xác định: D = (3; +∞).

2. Sự biến thiên

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực:

$\underset{t\to 3^{+}}{\lim }S\left(t\right)=+\infty ;\underset{t\to +\infty }{\lim }S\left(t\right)=+\infty$ .

Ta có: S(t) = t + 3 + $\frac{9}{t-3}$.

           S'(t) = 1 − $\frac{9}{{\left(t-3\right)}^2}$

           S'(t) = 0 ⇔ 1 − $\frac{9}{{\left(t-3\right)}^2}$  = 0 ⇔ t = 6 (do t > 3).

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt cực tiểu tại t = 6 và y_CT = 12.

c) Dựa vào bảng biến thiên ở phần b, ta thấy để diện tích tam giác OBC có diện tích nhỏ nhất thì B(6; 0).

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số hay khác:

• Bài 1.31 trang 25 SBT Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: ....

• Bài 1.32 trang 25 SBT Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: ....

• Bài 1.33 trang 25 SBT Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau: ....

• Bài 1.34 trang 25 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) xác định trên ℝ và f'(x) có đồ thị như hình vẽ sau: ....

• Bài 1.35 trang 25 SBT Toán 12 Tập 1: Gia tốc a(t) của một vật chuyển động, t tính theo giây, từ giây thứ nhất đến giây thứ 5 ....

• Bài 1.36 trang 26 SBT Toán 12 Tập 1: Một mẫu giấy in hình chữ nhật được thiết kế với vùng in có diện tích 300 cm2, lề trái và lề phải là 2 cm ....

• Bài 1.37 trang 26 SBT Toán 12 Tập 1: Giả sử chi phí để sản xuất x sản phẩm của một nhà máy được cho bởi C(x) = 0,2x² + 10x + 5(triệu đồng) ....

• Bài 1.39 trang 26 SBT Toán 12 Tập 1: Một quần thể cá được nuôi trong một hồ nhân tạo lúc ban đầu có 80 000 con ....

• Bài 1.40 trang 27 SBT Toán 12 Tập 1: Một khối bưu kiện hình hộp chữ nhật được quy định về kích cỡ như sau: tổng chiều dài ....