Trong không gian Oxyz giả sử bề mặt Trái Đất (S) có phương trình x^2 + y^2 + z^2 = 1

Giải sách bài tập Toán 12 Bài 17: Phương trình mặt cầu - Kết nối tri thức

Bài 5.26 trang 34 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, giả sử bề mặt Trái Đất (S) có phương trình x² + y² + z² = 1. Từ vị trí A$\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$, người ta dự định đào một hầm xuyên qua lòng đất theo hướng $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ = (2; 2; −3). Tính độ dài đường hầm cần đào.

Lời giải:

Đường hầm thuộc đường thẳng d đi qua A$\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ và nhận $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ = (2; 2; −3) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\frac{1}{2}+2\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=\frac{1}{2}+2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=\frac{1}{\sqrt{2}}-3\mathrm{t}\end{array}\right.$.

Gọi B là điểm cuối cùng của đường hầm cần đào.

Khi đó, B là giao điểm của đường thẳng ∆ và mặt cầu (S). Tọa độ B có dạng

B$\left(\frac{1}{2}+2\mathrm{t};\frac{1}{2}+2\mathrm{t};\frac{1}{\sqrt{2}}-3\mathrm{t}\right)$ (với t ≠ 0 để B khác A) và thỏa mãn phương trình mặt cầu (S), tức là:

${\left(\frac{1}{2}+2\mathrm{t}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}+2\mathrm{t}\right)}^2+{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-3\mathrm{t}\right)}^2=1$

⇔ 17t² + (2 −3$\sqrt{2}$)t = 0 ⇒ t = $\frac{3\sqrt{2}-2}{17}$.

Suy ra AB = $\sqrt{{\left(2\mathrm{t}\right)}^2+{\left(2\mathrm{t}\right)}^2+{\left(-3\mathrm{t}\right)}^2}=\left|\mathrm{t}\right|\sqrt{17}=\frac{3\sqrt{2}-2}{\sqrt{17}}$. 

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 Bài 17: Phương trình mặt cầu hay khác:

• Bài 5.21 trang 34 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; 1), B(2; 1; 3) ....

• Bài 5.22 trang 34 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm I(2; −1; 2) và mặt phẳng (P): x + 2y + 2z – 10 = 0 ....

• Bài 5.23 trang 34 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 1)2 + y2 + (z + 2)2 = 9 và điểm A(2; 2; −1) ....

• Bài 5.24 trang 34 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, phương trình nào trong các phương trình sau ....

• Bài 5.25 trang 34 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 1) và B(−1; −2; 3) ....

• Bài 5.27 trang 35 SBT Toán 12 Tập 2: Một quả bóng hình cầu có bán kính 2 m được treo lơ lửng trên một mặt phẳng ....