Cho D là một điểm bên trong tam giác ABC. Chứng minh

Giải SBT Toán 7 Ôn tập chương 9

Bài 9.23 trang 59 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho D là một điểm bên trong tam giác ABC. Chứng minh:

a) $\hat{B D C} > \hat{B A C}$ ;

b) BD + DC < AB + AC.

Lời giải:

Cho D là một điểm bên trong tam giác ABC. Chứng minh

a) Tia AD chia góc A thành góc A₁ và góc A₂, chia cóc BDC thành góc D₁ và góc D₂ như hình vẽ trên.

Xét tam giác BDM có: ${\hat{D}}_{1} = {\hat{A}}_{1} + \hat{A B D}$ nên ${\hat{D}}_{1} > {\hat{A}}_{1}$ .

Xét tam giác CDM có: ${\hat{D}}_{2} = {\hat{A}}_{2} + \hat{A C D}$ nên ${\hat{D}}_{2} > {\hat{A}}_{2}$

Nên suy ra $\hat{D} = {\hat{D}}_{1} + {\hat{D}}_{2} > {\hat{A}}_{1} + {\hat{A}}_{2} = \hat{A}$ (đpcm).

b) Lấy E là giao điểm của BD và AC.

Ta có: AB + AC = AB + AE + EC (1)

Trong tam giác ABE, theo bất đẳng thức tam giác ta có: AB + AE > BE (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB + AC > BE + EC = BD + DE + EC (3)

Trong tam giác CDE, theo bất đẳng thức tam giác ta có: DE + EC > DC (4)

Từ (3) và (4) suy ra: AB + AC > BD + DC (đpcm).