Biểu thức P = y – x, với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình

Biểu thức P = y – x, với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+3y-6\le 0\\ x\ge 0\\ 2x-3y-1\le 0\end{array}\right.$ đạt giá trị lớn nhất là a và đạt giá trị nhỏ nhất là b. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:

A. $a=\frac{25}{8}$ và b = – 2;

B. a = 2 và $b=-\frac{11}{12}$;

C. a = 3 và b = 0 ;

Đáp án đúng là: B

Ta vẽ đường thẳng d₁: 2x + 3y – 6 = 0, đường thẳng d₁ đi qua hai điểm (0; 2) và (3; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 + 3.0 – 6 = - 6 < 0, điểm O(0; 0) thoả mãn bất phương trình 2x + 3y – 6 ≤ 0, vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d₁ và chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).

Ta vẽ đường thẳng d₂: 2x – 3y – 1 = 0, đường thẳng d₂ đi qua hai điểm $\left(0;-\frac{1}{3}\right)$ và $\left(\frac{1}{2};0\right)$ 

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 2.0 – 3.0 – 1 = - 1 < 0, điểm O(0; 0) thoả mãn bất phương trình 2x – 3y – 1 ≤ 0, vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình. Ta có miền nghiệm của bất phương trình là phần nửa mặt phẳng được chia bởi d₂ và chứa điểm O(0; 0) (kể cả bờ).

x$\ge$0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm bên phải trục tung (kể cả trục tung).

Miền nghiệm là phần không bị gạch trong hình dưới đây (kể cả bờ).