Cho hai điểm A(–2; 1), B(3; 5) và đường thẳng d: x =  - 5 + 2t\\y = 9 - 5t. Tọa độ của điểm H ∈ d thỏa mãn | vecto HA  - 2 vecto HB| đạt giá trị nhỏ nhất là:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có H ∈ d. Suy ra H(–5 + 2t; 9 – 5t).

Ta có:

⦁ $\overrightarrow {HA} = \left( { - 2t + 3;5t - 8} \right)$;

⦁ $\overrightarrow {HB} = \left( { - 2t + 8;5t - 4} \right)$. Suy ra $2\overrightarrow {HB} = \left( { - 4t + 16;10t - 8} \right)$.

Suy ra $\overrightarrow {HA} - 2\overrightarrow {HB} = \left( {2t - 13; - 5t} \right)$.

Ta có $\left| {\overrightarrow {HA} - 2\overrightarrow {HB} } \right| = \sqrt {{{\left( {2t - 13} \right)}^2} + {{\left( { - 5t} \right)}^2}} = \sqrt {29{t^2} - 52t + 169}$

$= \sqrt {29\left[ {{{\left( {t - \frac{{26}}{{29}}} \right)}^2} + \frac{{4225}}{{841}}} \right]}$

Ta có ${\left( {t - \frac{{26}}{{29}}} \right)^2} \ge 0,\,\,\forall t \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow {\left( {t - \frac{{26}}{{29}}} \right)^2} + \frac{{4225}}{{841}} \ge \frac{{4225}}{{841}},\,\,\forall t \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow 29\left[ {{{\left( {t - \frac{{26}}{{29}}} \right)}^2} + \frac{{4225}}{{841}}} \right] \ge 29.\frac{{4225}}{{841}} = \frac{{4225}}{{29}},\,\,\forall t \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \sqrt {29\left[ {{{\left( {t - \frac{{26}}{{29}}} \right)}^2} + \frac{{4225}}{{841}}} \right]} \ge \sqrt {\frac{{4225}}{{29}}} = \frac{{65\sqrt {29} }}{{29}},\,\,\forall t \in \mathbb{R}$.

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow t = \frac{{26}}{{29}}$.

Với $t = \frac{{26}}{{29}}$, ta có $H\left( { - \frac{{93}}{{29}};\frac{{131}}{{29}}} \right)$.

Khi đó $\left| {\overrightarrow {HA} - 2\overrightarrow {HB} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng $\frac{{65\sqrt {29} }}{{29}}$ khi $H\left( { - \frac{{93}}{{29}};\frac{{131}}{{29}}} \right)$.

Vậy ta chọn phương án A.