Cho hypebol (H): x^2/16 - y^2/9 = 1 và đường thẳng ∆: x + y = 3. Tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của (H) đến ∆ bằng giá trị nào sau đây? A. 16; B. 8; C. 64; D. 7.

Câu hỏi:

Cho hypebol (H): \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1\) và đường thẳng ∆: x + y = 3. Tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của (H) đến ∆ bằng giá trị nào sau đây?

Trả lời:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình chính tắc của (H) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\), với \(\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 16\\{b^2} = 9\end{array} \right.\)

Ta có c² = a² + b² = 16 + 9 = 25.

Suy ra c = 5.

Khi đó hai tiêu điểm của (H) là F₁(–5; 0), F₂(5; 0).

Ta có ∆: x + y = 3 ⇔ x + y – 3 = 0.

Ta có \(d\left( {{F_1},\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 5 + 0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 4\sqrt 2 \) và \[d\left( {{F_2},\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 + 0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2 \].

Khi đó tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của (H) đến ∆ là: \(4\sqrt 2 .\sqrt 2  = 8\).