Cho ( x căn bậc hai x  + 1/x^4)^n với x > 0 và Cn^2 - Cn^1 = 2. Số hạng có số mũ thấp nhất của khai triển là: A. căn bậc hai x /x^11; B. 4 căn bậc hai x /x^11; C.1/x^16; D. 4 1/x^5}


Câu hỏi:

Cho \({\left( {x\sqrt x + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^n}\)với x > 0 và \(C_n^2 - C_n^1 = 2\). Số hạng có số mũ thấp nhất của khai triển là:

A.\(\frac{{\sqrt x }}{{{x^{11}}}}\);
B. 4\(\frac{{\sqrt x }}{{{x^{11}}}}\);
C.\(\frac{1}{{{x^{16}}}}\);
D. 4\(\frac{1}{{{x^5}}}\).

Trả lời:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có \(C_n^2 - C_n^1 = 2\)

\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!.(n - 2)!}} - \frac{{n!}}{{1!.(n - 1)!}} = 2\)

\( \Leftrightarrow \frac{{n(n - 1)(n - 2)!}}{{2.(n - 2)!}} - \frac{{n(n - 1)!}}{{(n - 1)!}} = 2\)

\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} - n = 2\)

\( \Leftrightarrow n(n - 1) - 2n - 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 4 = 0\)

Suy ra n = 4 hoặc n = – 1 (loại).

Với n = 4, ta có:

\({\left( {x\sqrt x + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^4}\)

= \[C_4^0.{\left( {x\sqrt x } \right)^4} + C_4^1.{\left( {x\sqrt x } \right)^3}.\frac{1}{{{x^4}}} + C_4^2.{\left( {x\sqrt x } \right)^2}.{\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)^2}\]

\[ + C_4^3.\left( {x\sqrt x } \right).{\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)^3} + C_4^4.{\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right)^4}\]

= \[{x^6} + 4.{x^4}.\sqrt x .\frac{1}{{{x^4}}} + 6.{x^3}.\frac{1}{{{x^8}}}\]\[ + 4\left( {x\sqrt x } \right).\frac{1}{{{x^{12}}}} + \frac{1}{{{x^{16}}}}\]

= \[{x^6} + 4.\sqrt x . + 6.\frac{1}{{{x^5}}}\]\[ + 4.\frac{{\sqrt x }}{{{x^{11}}}} + \frac{1}{{{x^{16}}}}\]

Số hạng có số mũ thấp nhất của khai triển là \(\frac{1}{{{x^{16}}}}\).

Xem thêm bài tập Toán 10 Cánh diều có lời giải hay khác:

Câu 1:

Gọi Tk là số hạng thứ k trong khai triển (x3 + 2y2)5 mà số mũ của x và y bằng nhau. Hệ số của Tk là:

Xem lời giải »


Câu 2:

Tìm hệ số của x5 trong khai triển (1 + x + x2 + x3)5.

Xem lời giải »


Câu 3:

Cho n > 2 là số nguyên dương thỏa mãn \(3C_n^2 + 2A_n^2 = 3{n^2} - 5.\) Số hạng không chứa x trong khai triển \({\left( {2{x^3} - \frac{3}{{{x^2}}}} \right)^n},x \ne 0.\)

Xem lời giải »


Câu 4:

Khai triển \({(\sqrt 3 - \sqrt[4]{5})^5}\). Tổng các số hạng hữu tỉ trong khai triển trên?

Xem lời giải »